第三章 簡單的優(yōu)化模型

1、第三章 簡單的優(yōu)化模型,--靜態(tài)優(yōu)化模型,3.1 存貯模型3.2 生豬的出售時機 3.3 森林救火3.4 消費者的選擇3.5 生產(chǎn)者的決策3.6 血管分支3.7 冰山運輸,現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題.,建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù).,求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法.,靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)).,簡單的優(yōu)化模型(靜態(tài)優(yōu)化),3.1 存貯模型,問 題,配件

2、廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費. 該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出.,已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小.,要求,不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費、貯存費之間的關(guān)系.,問題分析與思考,每天生產(chǎn)一次, 每次100

3、件,無貯存費,準(zhǔn)備費5000元.,日需求100件，準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元.,10天生產(chǎn)一次, 每次1000件，貯存費900+800+…+100 =4500元，準(zhǔn)備費5000元，總計9500元.,50天生產(chǎn)一次,每次5000件, 貯存費4900+4800+…+100 =122500元，準(zhǔn)備費5000元，總計127500元.,平均每天費用950元,平均每天費用2550元,10天生產(chǎn)一次,平均每天費用最小嗎?,每天費用5000

4、元,這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù).,顯然不能用一個周期的總費用作為目標(biāo)函數(shù).,目標(biāo)函數(shù)——每天總費用的平均值.,周期短，產(chǎn)量小,周期長，產(chǎn)量大,問題分析與思考,模 型 假 設(shè),1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；,2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費為 c2；,3. T天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量 為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；,建 模 目 的,設(shè) r, c1, c2 已知，求T,

5、 Q 使每天總費用的平均值最小.,4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.,模 型 建 立,貯存量表示為時間的函數(shù) q(t),t=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q, q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.,一周期總費用,每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）,離散問題連續(xù)化,一周期貯存費為,A,,=QT/2,模型求解,求 T 使,,模型解釋,定性分析,敏感性分析,參數(shù)c1,c2, r的微小變化對T,Q的影響,T對c1的(相對)敏感度,c1增

6、加1%, T增加0.5%,S(T,c2)=-1/2, S(T,r)=-1/2,c2或r增加1%, T減少0.5%,經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）,,用于訂貨供應(yīng)情況:,不允許缺貨的存貯模型,模型應(yīng)用,回答原問題,c1=5000, c2=1，r=100,每天需求量 r，每次訂貨費 c1, 每天每件貯存費 c2 , T天訂貨一次(周期), 每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨.,思考: 為什么與前面計算的C=950元有差別?,允

7、許缺貨的存貯模型,A,B,當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失.,原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨).,現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足.,周期T, t=T1貯存量降到零,一周期總費用,一周期貯存費,一周期缺貨費,每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）,一周期總費用,求 T ,Q 使,為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T ', Q記作Q'.,允許缺貨的存貯模型,不

8、允許缺貨模型,記,,,允許缺貨模型,允許缺貨模型,注意：缺貨需補足,Q?~每周期初的存貯量,每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）,Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量),存 貯 模 型,存貯模型(EOQ公式)是研究批量生產(chǎn)計劃的重要理論基礎(chǔ), 也有實際應(yīng)用.,建模中未考慮生產(chǎn)費用, 為什么?在什么條件下可以不考慮(習(xí)題1)?,建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時間不計), 如果生產(chǎn)能力有限(大于需求量的常數(shù)), 應(yīng)作怎樣的改動(習(xí)題2)?,3.2

9、 生豬的出售時機,飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80kg重的生豬體重增加2kg.,問題,市場價格目前為8元/kg，但是預(yù)測每天會降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時出售?,如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響?,分析,投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大.,求 t 使Q(t)最大,10天后出售，可多得利潤20元.,建模及求解,生豬體重 w=80+rt,出售價格 p=8-g

10、t,銷售收入 R=pw,資金投入 C=4t,利潤 Q= R-C,估計r=2，,若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元）,t 天出售,=10,Q(10)=660 > 640,g=0.1,=pw - 4t,敏感性分析,研究 r, g微小變化時對模型結(jié)果的影響.,設(shè)g=0.1不變,t 對r 的（相對）敏感度,生豬每天增加的體重 r 變大1%，出售時間推遲3%.,敏感性分析,研究 r, g微小變化時對模型結(jié)果的影響.,設(shè)r=2不

11、變,t 對g的（相對）敏感度,生豬價格每天的降低g增加1%，出售時間提前3%.,強健性分析,保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費用時出售.,由 S(t,r)=3,建議過一周后(t=7)重新估計 , 再作計算.,研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響.,w=80+rt ?w = w(t),p=8-gt ? p =p(t),若 (10%), 則

12、 （30%）,,3.3 森林救火,森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量.隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量.,問題分析,問題,記隊員人數(shù)x, 失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 時刻t森林燒毀面積B(t).,損失費f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定.,救援費f2(x)是x的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定.,

13、存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小.,關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).,問題分析,失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形.,分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時間燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度).,模型假設(shè),3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）,1）0?t?t1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù)? (火勢蔓延速度).,2）t

14、1?t?t2, ? 降為?-?x (?為隊員的平均滅火速度).,4）每個隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用c3 .,假設(shè)1）的解釋,?,火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比.,模型建立,目標(biāo)函數(shù)——總費用,,模型建立,目標(biāo)函數(shù)——總費用,模型求解,求 x使 C(x)最小,,結(jié)果解釋,? /? 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù),其中 c1,c2,c3, t1, ? ,?為已知參數(shù),模型應(yīng)用,c1,c2,c3

15、已知, t1可估計,,c2 ?? x?,c1, t1, ? ? ? x?,c3 ,? ? ? x ?,結(jié)果解釋,c1~燒毀單位面積損失費, c2~每個隊員單位時間滅火費, c3~每個隊員一次性費用, t1~開始救火時刻, ?~火勢蔓延速度, ?~每個隊員平均滅火速度.,為什么?,? ,?可設(shè)置一系列數(shù)值,由模型決定隊員數(shù)量 x,3.4 消費者的選擇,背景,消費者在市場里如何分配手里一定數(shù)量的錢，選擇購買若干種需要的商品.,

16、根據(jù)經(jīng)濟學(xué)的一條最優(yōu)化原理——“消費者追求最大效用” ，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助消費者決定他的選擇.,假定只有甲乙兩種商品供消費者購買， 建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.,當(dāng)消費者購得數(shù)量分別為x1, x2的甲乙兩種商品時，得到的效用可用函數(shù)u (x1, x2)度量，稱為效用函數(shù).,效用函數(shù),利用等高線概念在x1, x2平面上畫出函數(shù)u 的等值線, u (x1, x2)=c 稱為等效用線,等效用線就是“ 實物交換模型”中的無差別曲

17、線，效用就是那里的滿意度.,——一族單調(diào)減、下凸、互不相交的曲線.,效用最大化模型,p1, p2~甲乙兩種商品的單價, y~消費者準(zhǔn)備付出的錢,x1, x2 ~購得甲乙兩種商品數(shù)量,幾何分析,u(x1, x2) = c 單調(diào)減、下凸、互不相交.,在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函數(shù)u(x1, x2)最大.,AB必與一條等效用線相切于Q點 (消費點).,Q (x1, x2) 唯一,模型求解,引入拉格朗日乘子λ構(gòu)造函數(shù),

18、,與幾何分析得到的 Q 一致,等效用線u (x1, x2)=c的斜率,消費線AB的斜率,,結(jié)果解釋,效用函數(shù)的構(gòu)造,等效用線u (x1, x2)=c 所確定的函數(shù) x2(x1)單調(diào)減、下凸,解釋條件中正負(fù)號的實際意義,充分條件,,,當(dāng)商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數(shù)最大.,~ 邊際效用——商品數(shù)量 增加一個單位時效用的增量,效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式,,購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比, 比例系數(shù)是

19、參數(shù)α與β之比的平方根.,u(x1,x2)中參數(shù) ?, ?分別度量甲乙兩種商品對消費者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛 .,,購買兩種商品費用之比只取決于λ,μ, 與價格無關(guān).,u(x1,x2)中?,? 分別度量兩種商品的效用或者偏愛.,實際應(yīng)用時根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定其參數(shù).,效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式,效用最大化模型應(yīng)用舉例,例1 征銷售稅還是征收入稅,政府從消費者身上征稅的兩

20、種辦法:,銷售稅 ~ 根據(jù)消費者購買若干種商品時花的錢征稅,收入稅 ~ 根據(jù)消費者的收入征收所得稅,利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論,征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價為p1, p2，消費者準(zhǔn)備花的錢為y, 等效用線為u (x1, x2)=c，消費點為Q(x1, x2) .,例1 征銷售稅還是征收入稅,對甲商品征銷售稅, 稅率為p0,征稅前的消費點Q,消費線AB1, B1在B的左邊,AB1與l1相切于Q1(x1*, x2*),若改為征

21、 收入稅,政府得到的銷售稅額 p0x1*,征收的稅額與銷售稅額 p0x1*相同,消費線A2B2與l2相切于Q2, 可證B2在B1的右邊.,l2在l1上？l2在l1下？,如果l2在l1上方，Q2的效用函數(shù)值將大于Q1, 對消費者來說征收入稅比征銷售稅好.,例2 價格補貼給生產(chǎn)者還是消費者,政府為鼓勵商品的生產(chǎn)或者減少消費者的負(fù)擔(dān)所采取的兩種價格補貼辦法：,把補貼款直接給生產(chǎn)者 把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價,~鼓勵商品生產(chǎn),對消費者

22、無影響,讓甲商品價格漲到p1+p0, 補貼消費者多花的錢 p0 x1*,使仍達到消費點Q,補貼前的消費點Q,消費線 過Q, 與l'相切于Q',的效用函數(shù)值大于Q,x1' x2*,3.5 生產(chǎn)者的決策,背景,根據(jù)經(jīng)濟學(xué)的又一條最優(yōu)化原理——“生產(chǎn)者追求最大利潤” ，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助生產(chǎn)者或供銷商做出決策.,生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷售情況制訂價格.,在市場經(jīng)濟中“

23、消費者追求最大效用”，生產(chǎn)者呢？,最大利潤模型,x~產(chǎn)品產(chǎn)量,,,f '(x) ~ 邊際產(chǎn)值—— x變化一個單位時產(chǎn)值的改變量,c'(x) ~ 邊際成本—— x變化一個單位時成本的改變量,最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時達到.,假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入,f(x) ~ 產(chǎn)值(收入), c(x) ~ 成本,利潤,達到最大利潤的產(chǎn)量 x*,,,在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價格，使利潤最大.,產(chǎn)量x等于銷量，

24、數(shù)量無限制.,收入與x 成正比，系數(shù) p 即價格.,成本與 x 成正比，系數(shù) c 即邊際成本.,銷量x 依于價格 p, x(p)是減函數(shù).,簡化假設(shè),求p使 r(p) 最大,最優(yōu)定價模型,,利潤,c / 2 ~ 成本的一半,b ~彈性系數(shù)——價格上升1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）,a ~ 絕對需求( p很小時的需求),b ? ? p*?,a? ? p* ?,a, b可由p和x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作擬合得到,~ 利潤達到最大的定價,利

25、潤,最優(yōu)定價模型,,,,投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型,x1, x2 ~甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量,c1, c2 ~甲乙產(chǎn)品的單位成本,s~總投資費用,f (x1, x2) ~產(chǎn)值函數(shù),在條件 下求x1, x2使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大.,等產(chǎn)值線f (x1, x2)=v單調(diào)減、下凸、互不相交.,幾何分析,投資線AB必與一條等產(chǎn)值線相切于Q點.,與效用最大化模型類似,下凸~稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高,投資費用

26、一定下的產(chǎn)值最大模型,,最優(yōu)解(x1, x2)滿足,在條件 下求x1, x2使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大.,用拉格朗日乘子法求條件極值,,~邊際產(chǎn)值,當(dāng)兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的價格之比時，產(chǎn)值達到最大.,產(chǎn)值最大與費用最小的對偶關(guān)系,x=(x1, x2)T, c =(c1, c2),,投資費用一定的產(chǎn)值最大模型,g(s,c)~給定的單位成本c下費用不超過s的最大產(chǎn)值.,產(chǎn)值一定的投

27、資費用最小模型,s(v,c)~給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于v的最小費用.,對偶極值問題,只要解決其中之一, 另一個就迎刃而解,成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù) c(x).,產(chǎn)值函數(shù)f(x) 在實際生產(chǎn)過程中常常難以確定.,——從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法,產(chǎn)值最大與費用最小對偶關(guān)系的應(yīng)用,給定v和c求得最小費用s(v,c)=s,畫出直線AB: cx=s,x=(x1, x2)T, c =(c1, c2),f (x)≥v的點在AB上方, 且AB上

28、有一點Q位于l: f (x)=v上,改變c重復(fù)上述過程, 得到一系列不同斜率的直線,區(qū)域f (x)≥v在直線上方, 其邊界是等產(chǎn)值線l: f (x)=v,包絡(luò)線,改變v重復(fù)上述過程, 得到一系列等產(chǎn)值線,3.6 血 管 分 支,背景,機體提供能量維持血液在血管中的流動.,給血管壁以營養(yǎng).,克服血液流動的阻力.,消耗能量與取決于血管的幾何形狀.,在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則.,研究在能量最小原則下，血管分支處

29、粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度.,問題,模型假設(shè),一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點對稱地處于同一平面.,血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動.,血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度d近似與血管半徑r成正比.,q=2q1,r/r1, ? ?,考察血管AC與CB, CB´,粘性流體在剛性管道中運動,? p~A,C壓力差，? ~粘性系數(shù),克服阻力消耗能量E1,提供營養(yǎng)消耗能量E2,管壁內(nèi)表面積 2?rl,管壁

30、體積?(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比,模型假設(shè),模型建立,克服阻力消耗能量,提供營養(yǎng)消耗能量,機體為血流提供能量,模型求解,,,模型解釋,生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合,大動脈半徑rmax, 毛細(xì)血管半徑rmin,大動脈到毛細(xì)血管有n次分岔,觀察：狗的血管,血管總條數(shù),推論,n=？,3.7 冰山運輸,背景,波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊.,專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水.,

31、從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行?,建模準(zhǔn)備,1. 日租金和最大運量,2. 燃料消耗（英鎊/千米）,3. 融化速率（米/天）,建模準(zhǔn)備,建模目的,選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較.,模型假設(shè),航行過程中船速不變，總距離9600千米.,冰山呈球形，球面各點融化速率相同.,到達目的地后,每立方米冰可融化0.85立方米水.,建模分析,目的地水體積,運輸過程融化規(guī)律,總費用,第t天融化速率,模型建立,

32、1. 冰山融化規(guī)律,船速u (千米/小時)與南極距離d(千米)融化速率r(米/天）,r是 u 的線性函數(shù)d4000時r與d無關(guān),航行 t 天, d=24ut,1. 冰山融化規(guī)律,冰山初始半徑R0，航行t天時半徑,冰山初始體積,t天時體積,總航行天數(shù),選定u,V0, 航行t天時冰山體積,到達目的地時冰山體積,2. 燃料消耗,燃料消耗 q1(英鎊/千米),q1對u線性, 對lgV 線性,選定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英

33、鎊/天),燃料消耗總費用,3. 運送每立方米水費用,冰山初始體積V0的日租金 f(V0)（英鎊）,航行天數(shù),總?cè)剂舷馁M用,拖船租金費用,冰山運輸總費用,冰山到達目的地后得到的水體積,3. 運送每立方米水費用,冰山運輸總費用,運送每立方米水費用,到達目的地時冰山體積,模型求解,選擇船型和船速,使冰山到達目的地后每立方米水的費用最低,V0只能取離散值,經(jīng)驗公式很粗糙,結(jié)果分析,由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達目的地后實際體積會顯

34、著小于V(u,V0).,有關(guān)部門認(rèn)為，只有當(dāng)計算出的Y(u,V0)顯著低于淡化海水的成本時，才考慮其可行性.,大型拖船V0= 107 (米3),船速 u=4~5(千米/小時),冰山到達目的地后每立方米水的費用 Y(u,V0)約0.065(英鎊).,雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，但是模型假設(shè)和構(gòu)造非常簡化與粗糙.,冰 山 運 輸,模型來自實際問題的可行性研究.,收集數(shù)據(jù)是建模的重要準(zhǔn)備工作.,根據(jù)數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗公式是建