第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

1、,第四節(jié),一、函數(shù)單調(diào)性的判定法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、曲線的凹凸與拐點,,函數(shù)的單調(diào)性與,曲線的凹凸性,第三章,一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法,若,定理 1. 設(shè)函數(shù),則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,證: 無妨設(shè),任取,由拉格朗日中值定理得,故,這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.,在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證畢,

2、例1. 確定函數(shù),的單調(diào)區(qū)間.,解:,令,得,,,,,,,故,的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為,,,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.,例如,,2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .,例如,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 證明,時, 成立不等式,證: 令,從而,因此,且,,證,證

3、明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,* 證明,令,則,從而,即,,,,,定義 . 設(shè)函數(shù),在區(qū)間 I 上連續(xù) ,,(1) 若恒有,則稱,圖形是凹的;,(2) 若恒有,則稱,連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點 .,圖形是凸的 .,,,二、曲線的凹凸與拐點,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;,(2) 在

4、I 內(nèi),則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .,,,證:,利用一階泰勒公式可得,兩式相加,,說明 (1) 成立;,(2),,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)函數(shù),在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù),證畢,,例3. 判斷曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,說明:,1) 若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得拐點的判別法如下:,若曲線,或不存在,,的一個拐點.,則曲

5、線的凹凸性不變 .,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求曲線,的拐點.,解:,,,,,不存在,因此點 ( 0 , 0 ) 為曲線,的拐點 .,凹,凸,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5. 求曲線,的凹凸區(qū)間及拐點.,解:,1) 求,2) 求拐點可疑點坐標(biāo),令,得,對應(yīng),3) 列表判別,故該曲線在,及,上向上凹,,向上凸 ,,點 ( 0 , 1 ) 及,均為

6、拐點.,凹,凹,凸,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,,在 I 上單調(diào)遞增,,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點的判別,,,拐點,— 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),上,則,或,的大小順序是 ( ),提示: 利用,單調(diào)增加 ,,及,B,1. 設(shè)在,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

7、 結(jié)束,.,2. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點為,提示:,及,作業(yè)P151 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14,;,;,第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有位于一直線的三個拐點.,1.求證曲線,證明：,備用題,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令,得,從而三個拐點為,