控制系統(tǒng)根軌跡的繪制

1、Wednesday, March 6, 2024,1,第四節(jié) 控制系統(tǒng)根軌跡的繪制,Wednesday, March 6, 2024,2,,前面學(xué)習(xí)了根軌跡的基本概念和繪制基本準(zhǔn)則（性質(zhì)），這里將手工繪制控制系統(tǒng)根軌跡的步驟羅列如下：,畫出n-m條漸進(jìn)線。其與實(shí)軸的交點(diǎn)（稱為重心）和傾角分別為：,確定實(shí)軸上的根跡區(qū)間；,計(jì)算極點(diǎn)處的出射角和零點(diǎn)處入射角：,Wednesday, March 6, 2024,3,計(jì)算根軌跡和虛軸的交點(diǎn)；,

2、計(jì)算會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：,利用前幾步得到的信息繪制根軌跡。,注意： 后兩步可能不存在； 在判斷大致形狀時(shí)，需知道根軌跡的支數(shù)、連續(xù)性和對(duì)稱性。,Wednesday, March 6, 2024,4,一、 單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡,前面所討論的根軌跡（180度根軌跡）是基于單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的。,[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,②實(shí)軸上根軌跡

3、區(qū)間是：[-2，0]；,③漸進(jìn)線傾角： 與實(shí)軸的交點(diǎn)為：,[解] ：①標(biāo)出四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)：0，-2， 。有四條根軌跡。,Wednesday, March 6, 2024,5,④-3+4j處的出射角 ：,根據(jù)對(duì)稱性，可知-3-j4處的出射角 為：,當(dāng)勞斯陣某一行全為零時(shí)，有共軛虛根。這時(shí)， 。,Wed

4、nesday, March 6, 2024,6,⑥會(huì)合點(diǎn)與分離點(diǎn)（重根點(diǎn)）：分離角為,由 得：,由上式可求出分離點(diǎn)。但高階方程求解困難，可采用下述近似方法：,我們知道，分離點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸[-2，0]區(qū)間上，所以當(dāng)s在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)， 最大時(shí)為分離點(diǎn)。,,可見分離點(diǎn)在-0.8~-1.0之間，近似取-0.9。,Wednesday, March 6

5、, 2024,7,⑦繪制根軌跡，如下圖所示。,Wednesday, March 6, 2024,8,⑵實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：,⑷繪制根軌跡。,Wednesday, March 6, 2024,9,⑵漸近線傾角,重心：,⑶實(shí)軸上根軌跡區(qū)間,⑷實(shí)軸上無(wú)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。,Wednesday, March 6, 2024,10,⑹與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：,勞斯陣列：,勞斯陣有一行全為0，表示有共軛虛根。令：,輔助方程為：,Wednes

6、day, March 6, 2024,11,⑺繪制根軌跡圖，見下圖,Wednesday, March 6, 2024,12,特殊情況：對(duì)于開環(huán)傳遞函數(shù) 有零極點(diǎn)相對(duì)消的情況。,如：,則： ，引起特征方程階數(shù)的下降。處理方法見下圖：,式中：,以開環(huán)傳遞函數(shù) 繪制根軌跡可得 的極點(diǎn)。閉環(huán) 系統(tǒng) 的極點(diǎn)由

7、 和 組合而成。,由零極點(diǎn)相對(duì)消減少的極點(diǎn)由 的極點(diǎn)來(lái)補(bǔ)充。見下頁(yè)圖。,Wednesday, March 6, 2024,13,Wednesday, March 6, 2024,14,二、 多回路系統(tǒng)的根軌跡,簡(jiǎn)單處理辦法：將多回路系統(tǒng)等效為單回路系統(tǒng)，再繪制180度根軌跡或參量根軌跡。,三、 正反饋系統(tǒng)的根軌跡,以上我們討論的都是閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則。在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)中，可能有局

8、部的正反饋的結(jié)構(gòu)。正反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制準(zhǔn)則與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡略有不同。如下圖所示系統(tǒng)：,開環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,Wednesday, March 6, 2024,15,相應(yīng)的跟軌跡方程為：,幅值條件和相角條件為：,與負(fù)反饋系統(tǒng)根軌跡比較，幅值條件相同，相角條件不同。負(fù)反饋系統(tǒng)的相角條件 是180度等相角條件；而正反饋系統(tǒng)的相角條件 是0度等相角條件。,注意： 負(fù)反饋系統(tǒng)根軌

9、跡稱為180度根軌跡或簡(jiǎn)稱為根軌跡； 正反饋系統(tǒng)根軌跡稱為0度根軌跡。,Wednesday, March 6, 2024,16,繪制0度根軌跡的基本準(zhǔn)則：,對(duì)稱性和連續(xù)性同常規(guī)根軌跡；,起點(diǎn)、終點(diǎn)和根軌跡支數(shù)同常規(guī)根軌跡；,漸進(jìn)線：與實(shí)軸的交點(diǎn)同常規(guī)根軌跡；但傾斜角不同，為： ，有n-m個(gè)角度。,實(shí)軸上的根軌跡：其右方實(shí)軸上的開環(huán)零極點(diǎn)之和為偶數(shù)（包括0）的區(qū)域。

10、,分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角：同常規(guī)根軌跡；,Wednesday, March 6, 2024,17,與虛軸的交點(diǎn)：同常規(guī)根軌跡；,閉環(huán)極點(diǎn)之和與之積：同常規(guī)根軌跡。,出射角和入射角：,Wednesday, March 6, 2024,18,起點(diǎn)在0，-1，-5處，終點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。有3支根軌跡。,實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：[-5，-1]，[0， ）,顯然， ，不在根軌跡上。分離點(diǎn)為： 。,[解]

11、：,Wednesday, March 6, 2024,19,Wednesday, March 6, 2024,20,比較正負(fù)反饋的根軌跡方程：,若開環(huán)傳遞函數(shù)為：,則正、負(fù)反饋的根軌跡方程分別為：,可見，正反饋根軌跡相當(dāng)與負(fù)反饋根軌跡的 從 時(shí)的根軌跡。所以，可將正負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡合并，得 時(shí)的整個(gè)區(qū)間的根軌跡，,請(qǐng)閱讀p135,圖4-29及下頁(yè)比較圖。,Wedn

12、esday, March 6, 2024,21,左圖為正反饋（0度）根軌跡圖；右圖為負(fù)反饋（180度）根軌跡圖；,將例4-9的給出的開環(huán)傳遞函數(shù)分別繪制正負(fù)根軌跡圖如下：,作業(yè)：4-3a，4-4,4-5,Wednesday, March 6, 2024,22,小結(jié),手工繪制180度根軌跡的步驟(單回路負(fù)反饋系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)根軌跡的繪制)； 手工繪制0度根軌跡的步驟(單回路正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制)； 180度根軌跡和0度根軌跡的關(guān)