第十一章電勢

1、第11 章 電勢,§11.1 靜電場的保守性§11.2 電勢差和電勢§11.3 電勢疊加原理§11.4 等勢面§11.5 電勢梯度§11.6 電荷在外電場中的靜電勢能§11.8 靜電場的能量,一. 靜電場是保守場,§11.1 靜電場的保守性,1.點電荷的靜電場：,點電荷q固定于原點O，檢驗電荷q0在q的電場中由a點沿

2、任意路徑到達b點，取微元dl，電場力對q0的元功為,在靜止的點電荷電場中，移動單位正電荷時，電場力做的功只與試驗電荷始末位置有關，而與運動路徑無關。,2.任意電荷系的靜電場：,任何靜電場中，電場力作功只與試探電荷的始末位置有關，而與運動路徑無關，即靜電力是保守力，靜電場為保守場。,任意帶電體都可以看成由許多點電荷組成的點電荷系，根據疊加原理可知，點電荷系的場強為各點電荷場強的疊加,任意點電荷系電場中，移動單位電荷時電場力所作的功為：,二

3、. 靜電場的環(huán)路定理（靜電場是保守場表述二）,在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分為零 －－靜電場的環(huán)路定理。,在靜電場中，將試探電荷沿閉合路徑移到一周時，考慮場強沿閉合路徑的線積分：,電場力作功與路徑無關,§11.2 電勢差和電勢,一. 電勢差,（任意路徑）,靜電場中P1、P2兩點的電勢差，等于將單位正電荷從 P1 點移至 P2點電場力所作的功。,二. 電勢,靜電場中 P 點的電勢，在數值上等于單位正電荷自

4、P點沿任意路徑移到電勢零點，電場力所做的功。,當電荷要分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為電勢零點，則,電勢是標量，有正有負；電勢的單位：伏特 1V=1J.C-1；電勢具有相對意義，它決定于電勢零點的選擇。在理論計算中，通常選擇無窮遠處的電勢為零；在實際工作中，通常選擇地面的電勢為零。但是對于“無限大”或“無限長”的帶電體，只能在有限的范圍內選取某點為電勢的零點。,,例：求與靜止的點電荷q的距離為r處的電勢,正電荷的電勢為正，離電荷

5、越遠，電勢越低；負電荷的電勢為負，離電荷越遠，電勢越高。,例11.1 求均勻帶電球面的電場中的電勢分布。球面半徑為 R ，帶電量為 q (設q>0 )。,解：,（1）球面外某點的電勢,以無限遠為電勢零點。,（2）求球面內一點的電勢,例11.2 求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。已知線電荷密度為 ? 。,解：,無限長均勻帶電直線周圍的場強,以距帶電直線為r0的P0點為電勢零點。,距帶電直線為r的P點的電勢為,式中C為與電

6、勢零點的位置有關的常數。,§11.3 電勢疊加原理,一. 電勢疊加原理,一個點電荷系的電場中某一點的電勢，等于各點電荷單獨存在時在該點所產生的電勢的代數和——靜電場的電勢疊加原理。,（電勢疊加原理）,二. 電勢的計算,1、運用點電荷電勢公式和電勢疊加原理計算電勢,點電荷的電勢：,,,電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢,點電荷系的電勢,例11.3 求電偶極子的電場中的電勢分布。已知電偶極子中兩點電荷-q，+q間的距離為l。,

7、解：,以無限遠為電勢零點。,當 r>>l 時，,例11.4 一半徑為 R 的均勻帶電細圓環(huán)，所帶總電量為q ，求在圓環(huán)軸線上任意點 P 的電勢。,解：,以無限遠為電勢零點。,補例：均勻帶電圓板，半徑為 R ，電荷面密度為 ? 。求軸線上任一點 P 的電勢。,解：,x,當x>>R時,把圓盤當作一個點電荷,2、運用高斯定理和電勢的定義計算電勢：,2）通過電場強度的積分計算電勢：,1）運用高斯定律

8、 確定電場的分布：,補例：半徑為 R 的均勻帶電球體，帶電量為 q ， 求電勢分布。,解：,1、等勢面的概念,靜電場中，電勢相等的點所組成的曲面：,常用一組等勢面描述靜電場，并規(guī)定相鄰兩等勢面之間的電勢差相等。,2、等勢面與電場線的關系,1) 等勢面與電場線處處正交；,3) 電場線指向電勢降低的方向；,§11.4 等勢面,2) 兩等勢面相距較近處場強數值大，相距較遠處場強數值小。,&#

9、167;12.3 電勢疊加原理,點電荷的電場線與等勢面,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,電偶極子的電場線與等勢面,§12.3 電勢疊加原理,§12.3 電勢疊加原理,,,對于導體內部的任何兩點A和B,對于導體表面上的兩點A和B,導體的電勢,例11.6　兩個半徑分別為R和r 的球形導體（R>r），用一根很長的細導線連接起來（如圖），使這個導體組

10、帶電，電勢為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關系。設導線足夠長而兩球相隔足夠遠。,導體上的電荷分布,解:　兩個導體所組成的整體可看成是一個孤立導體系，在靜電平衡時有一定的電勢值。設這兩個球相距很遠，使每個球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場可忽略不計。細線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個球又可近似的看作為孤立導體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為,導體上的電荷分布,孤立導

11、體是指其它導體或帶電體都離它足夠遠，以至于其它導體或帶電體對它的影響可以忽略不計。,可見大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。,兩球的電荷密度分別為,可見電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈小（或曲率愈大），電荷面密度愈大。,,導體上的電荷分布,例11.7 一個金屬球A，半徑為R1。它的外面套一個同心的金屬球殼B，其內外半徑分別為R2和R3。二者帶電后電勢分別為 和 。求此系統(tǒng)的電荷及電場的分布。如果用導線將球和殼連接起

12、來，結果又將如何？,解:,,聯(lián)立解得:,如果用導線將球和殼連接起來。,,§11.5 電勢梯度,一. 電勢梯度,電場中某一點的場強沿任一方向的分量等于這一點的電勢沿該方向的空間變化率的負值。,定義電勢梯度：,電勢梯度的大小等于電勢在該點最大空間變化率；方向沿等勢面法向，指向電勢增加最快的方向。,直角坐標系：,求 的三種方法,,利用電場強度疊加原理,利用高斯定理,利用電勢與電場強度的關系,電勢是標量，容易計算?？梢韵扔嬎?/p>

13、電勢，然后利用場強與電勢的微分關系計算電場強度，這樣做的好處是可以避免直接用場強疊加原理計算電場強度的矢量運算的麻煩。,,例11.8 均勻帶電圓環(huán)，帶電量為 q ，半徑為 R 。求軸線上任一點 P 的場強。,,,P,x,,,R,x,解：,例11.9 求電偶極子電場中任意一點 的電勢和電場強度.,解,,,,§11.6 電荷在外電場中的靜電勢能,靜電勢能（電勢能）,一個電荷在電場中某點的電勢能等于它的電量與電場中該點電