三、傳遞函數(shù)矩陣g-read

1、§3-3 多變量系統(tǒng)的實現(xiàn),設(shè)多變量系統(tǒng)動態(tài)方程為,一、動態(tài)方程的可控性、可觀測性與傳遞矩陣之間的關(guān)系,(3-36),其中A, B, C 分別是 n×n, n×p, q×n 的實常量矩陣，其傳遞函數(shù)矩陣為,(3-37),式中det(sI?A) 稱為系統(tǒng)的特征式。傳遞函數(shù)矩陣G(s)是一個嚴(yán)格真有理函數(shù)陣，即它的每一元素都是s的有理函數(shù)，且分母的階次嚴(yán)格高于分子的階次。,證明: 反證法。,證完。

2、,顯然系統(tǒng)可控且可觀。但傳遞函數(shù)陣為,例題3-4：設(shè)系統(tǒng)方程為,與單變量系統(tǒng)不同,本定理中的條件是系統(tǒng)可控可觀測的充分條件，而不是必要條件，可用以下例題來說明。,在A的特征式與 之間存在公因式(s?1)。故定理中的條件不是必要的。,但如果將(3-33)式：,的分母寫成 A 的最小多項式，可以得到(A, B, C) 可控可觀的一個必要條件(略）。,(3-37),定義3-1

3、： 一個有理傳遞矩陣G(s)成為是正則的，若 是一個有限的常量矩陣。 G(s)成為是嚴(yán)格正則的，若 。,與第一章相同，在以下的討論中，我們假定 G(s) 的每一個元都已經(jīng)是既約形式，即每一個元的分子多項式和分母多項式?jīng)]有非常數(shù)的公因式。,定義3-2 G(s)的極點多項式中s 的最高次數(shù)稱為G(s)的麥克米倫(McMillan)階，用記號?G(s)表示。,例3-6： 求下列系統(tǒng)的McMillan階：,G1(s)的極

4、點多項式為(s+1); G2(s)的極點多項式為(s+1)2，故,例3-7: 考慮,定理3-8 系統(tǒng)(3-32)可控可觀測的充分必要條件是 G(s)的極點多項式等于A 的特征多項式，即,證明：略。,例3-8,二、向量傳遞函數(shù)的實現(xiàn),一個元素為多項式的矩陣，總可以寫成矩陣為系數(shù)的多項式，例如：,行分母展開時,得可觀標(biāo)準(zhǔn)形最小實現(xiàn),,,,這是一個多入單出系統(tǒng)，其中各元均互質(zhì)。令,為G(s)各元分母多項式的首一最

5、小公分母(極點多項式），則上式可寫成：,但與單變量系統(tǒng)相比，Ni 的順序是反的！但只要注意到B陣的第一行是N0 就可以了。,于是有實現(xiàn)：,,列分母展開時,得可控標(biāo)準(zhǔn)形最小實現(xiàn),,,,,,d(s)為G(s)各元分母多項式的首一最小公分母(極點多項式）,注意：因為G(s)的諸元素已是既約形式，故行分母（列分母）的次數(shù)就是McMillan階，所構(gòu)造的實現(xiàn)一定是最小實現(xiàn)。這點和標(biāo)量傳函一樣。,這是一個單入多出系統(tǒng)，可實現(xiàn)為第二可控標(biāo)準(zhǔn)形：,傳

6、遞矩陣為列和行向量時的最小實現(xiàn)小結(jié)在各元素即約的條件下，它們的首一最小公分母就是G(s)特征多項式；G(s)為列向量(輸入為標(biāo)量）則可實現(xiàn)為可控標(biāo)準(zhǔn)型(Ac,bc,C);G(s)為行向量（輸出為標(biāo)量）則可實現(xiàn)為可控標(biāo)準(zhǔn)型(Ao,co,B);上述實現(xiàn)均是最小實現(xiàn)。,三、傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實現(xiàn)按列展開： 可以將矩陣G(s)分成列(行)，按列(行) 展開。以2列為例說明列展開時的做法。設(shè)第i列展開所得的可控形實現(xiàn)為A i

7、 ,b i ,C i ，可按以下方式形成A, B, C:,,,,這一實現(xiàn)是可控的（PBH檢驗），并可計算出上述實現(xiàn)的傳函陣為,傳遞矩陣按列展開的步驟：,1）將傳遞矩陣寫成：,構(gòu)造系統(tǒng)的(A, B, C)（由PBH檢驗可知系統(tǒng)可控制）:,2. 按行展開 同理，可以將G(s)分成行，每行按行分母展開。以2行為例說明行展開時的做法,設(shè)第i行展開所得的可觀形實現(xiàn)為A i ,B i ,ci ，可按以下方式形成A, B, C,,這一實

8、現(xiàn)是可觀的（由PBH檢驗可知），并可計算出上述實現(xiàn)的傳函陣為G(s),傳遞矩陣按行展開的步驟：,1）將傳遞矩陣寫成：,3）構(gòu)造系統(tǒng)的(A, B, C):,例題 : 給定有理函數(shù)陣為,解 采用行展開方法，將G(s)寫成,試用行展開和列展開構(gòu)造G(s)實現(xiàn)。,,第一個子系統(tǒng),,第二個子系統(tǒng),按(3-38)式,可得可觀性實現(xiàn)如下,,,容易驗證這一實現(xiàn)是可觀的但不是可控的。直接計算可知δG(s)=3，而A陣的維數(shù)是4，由定理3-13可知，

9、該實現(xiàn)一定不可控。要得到可控可觀的實現(xiàn)，可以用定理2-17對此四階實現(xiàn)進行可控性分解，進而得到一個三階的實現(xiàn)。 但如果用列展開方法，就可以得到可控可觀的實現(xiàn)，做法如下：將G(s)寫成,由(3-42)式可構(gòu)成如下的實現(xiàn),這是可控性實現(xiàn)，它也是可觀的，因而是G(s)的最小階實現(xiàn)。顯然，在本例中一開始就應(yīng)選擇列展開方法。這是因為各列分母次數(shù)之和為3，小于各行分母次數(shù)之和4。 如果不論行展開或列展開都不能得到最小階

10、實現(xiàn)，可以利用可控性分解或可觀性分解進一步降低系統(tǒng)的階次。,例題 : 給定有理函數(shù)矩陣如下,求出G(s)的最小階動態(tài)方程實現(xiàn)。,解: 各一階子式的公分母顯然是s3，而其一個二階子式的分母為s4，因而其極點多項式為s4.,(1) 計算 ? G(s) = 4,(2) 行展開,構(gòu)成可觀性實現(xiàn)：(一定不可控),(3) 進行可控分解,,可控性陣秩為4，可取前四列, 且作列變換，這樣將使計算簡便 {4列乘?1、 ?

11、2加到1、2列；2列乘?1加到3列), 3列加到1列, 3列乘?1},,再補充一列(后一列是補充的)，使下列矩陣為非奇異陣，記為,(4) 可得最小實現(xiàn)為,(5) 驗算, 可驗證可控，可觀且傳遞函數(shù)矩陣為,利用PBH檢驗，其最小實現(xiàn)的結(jié)論為顯然。,,證完。,例題,,,,,,G(s) 的一個最小實現(xiàn)為,,,四、組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn),1. 串聯(lián)方式：,2. 并聯(lián)方式：,3. 反饋結(jié)構(gòu)：,下面計算反饋結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)矩陣：,另一做法