例題1-向量值函數(shù)的微分

1、向量值函數(shù)的微分與積分Differentiation and Integration of Vector-Valued Functions,Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.,12.2,向量值函數(shù)的微分向量值函數(shù)的積分,目的,向量值函數(shù)的微分Differentiation of Vector-Valued Functions,向量值函數(shù)的微分,向量值函數(shù)

2、的微分定義與實(shí)數(shù)函數(shù)的定義極為相似。定義: 向量值函數(shù)的微分對所有 t極限都存在。如果 存在，那麼r在 t 點(diǎn)可微分。如果 對於開區(qū)間 I 所有的 t， 都存在，那麼r在開區(qū)間 I 可微分。,,向量值函數(shù)的微分,向量值函數(shù)的微分可以拆成對各分量函數(shù)的微分。考慮有一個(gè)函數(shù) r(t) = f(t)i + g(t)j。,向量值函數(shù)的微分,藉由微分的定義，可以得到這

3、個(gè)重要的結(jié)果會(huì)寫成定理12.1。,注意向量值函數(shù)r的微分後，還是一個(gè)向量函數(shù)。從右圖，你可以看出 r′(t) 是曲線r(t)的切線向量。,向量值函數(shù)的微分,向量值函數(shù)的微分,定理12.1: 向量值函數(shù)的微分1. 如果 且 f 和g是依賴 t 的可微分函數(shù)，則2. 如果 且 f 、g、

4、h 是依賴 t 的可微分函數(shù)，則,,例題1-向量值函數(shù)的微分,給予一個(gè)向量值函數(shù) r(t) = t i + (t2 + 2)j，求出它的微分並畫出能r(t) 、 r(1) 、 r′(1) 。解:對分量函數(shù)微分得到 r′(t) = i + 2t j。Derivative從位置向量r(t) ，你可以寫出參數(shù)方程式 x = t 、 y = t2 + 2。接著就得到矩形方程式 y = x2 + 2。令t

5、= 1代入，r(1) = i + 3j 和 r′(1) = i + 2j。,例題1-解,在下圖 r(1) 的起點(diǎn)在原點(diǎn)，而r′(1) 從r(1)的終點(diǎn)開始畫起。,cont’d,向量值函數(shù)的微分,向量值函數(shù)的高次微分可以藉由對各分量函數(shù)作相同次數(shù)的微分而求得。例如,向量值函數(shù)的微分,如果 f ′、 g′、h′ 在區(qū)間 ? 連續(xù)且r′ ≠0，則向量值函數(shù) r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k 代表的曲線在開

6、放區(qū)間 ? 是平滑的(smooth on an open interval ? ) 。,例題三-在平滑的曲線找到區(qū)間,令 r(t) = (5cos t – cos 5t)i + (5sin t – sin 5t)j, 0 ? t ? 2?，求這條外擺線C是平滑的區(qū)間。解:對r(t)微分， 得到 r′(t) = (–5sin t + 5sin 5t)i + (5cos t – 5cos 5t)j。在區(qū)間[0, 2?]會(huì)使

7、得r′(t) = 0i + 0j的地方是 t = 0、??2、?、3??2與 2?。,例題3-解,因此你得到C在 是平滑的。如下圖:注意曲線上不平滑的點(diǎn)叫作尖點(diǎn)(cusps)或叉點(diǎn)(nodes),cont’d,向量值函數(shù)的微分,定理12.2: 微分的性質(zhì)設(shè)r和u是可微分的向量值函數(shù)，w為可微分的實(shí)數(shù)值函數(shù)，且c為常數(shù)。,,例題4-使用微分的性質(zhì),給

8、定兩個(gè)向量值函數(shù) 求a. Dt[r(t) . u(t)]b. Dt[u(t) ? u′ (t)].,例題四-解,因?yàn)?且 u′(t) = 2t i – 2j 所以我們有,例題四-解,因?yàn)?u′(t) = 2ti – 2j 跟 u′′(t) = 2i，我們可以得到,cont’d,向量值函數(shù)的積分Integration of Vector-Valued Fun

9、ctions,向量值函數(shù)的積分,以下的向量值函數(shù)的積分定義是由微分的結(jié)果推衍出來的。定義:如果 且 f、g在區(qū)間[a,b]連續(xù)，則r(t)的積分為 定積分為 如果 且 f、g、h在區(qū)間[a,b]連續(xù)，則

10、r(t)的積分為 定積分為,,一個(gè)向量值函數(shù)的反微分是一組僅差一個(gè)向量常數(shù)的向量函數(shù)。舉個(gè)例子，如果r(t)是一個(gè)三維向量值函數(shù)，而∫r(t) dt 會(huì)包含3個(gè)積分常數(shù)其中 F′(t) = f(t) 、 G′(t) = g(t) 、H′(t) = h(t) 。,向量值函數(shù)的積分,這三個(gè)純量產(chǎn)生了一個(gè)積分向量常數(shù) ∫r(t) dt = [F(t) + C1]i + [G(t) + C2]j +