晶格周期性函數(shù)

1、第一章 晶體結(jié)構(gòu)第二章 晶體的結(jié)合第三章 晶格的熱振動(dòng)第四章 金屬電子論第五章 電子的能帶論第六章 半導(dǎo)體電子論第七章 固體磁性第八章 固體超導(dǎo),1 布洛赫定理與布洛赫波2 近自由電子近似方法 3 緊束縛近似方法4 其他方法5 能帶電子的態(tài)密度6 布洛赫電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)7 布洛赫電子在恒定電場(chǎng)中的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)8 布洛赫電子在恒定磁場(chǎng)中的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)9 能帶論的局限性,3 緊束縛近似方法,思路

2、：從局域 ? 到共有與近自由電子方法截然相反價(jià)電子態(tài)作為出發(fā)點(diǎn)如何表達(dá)一個(gè)電子“在每一個(gè)原子上”？LCAO 復(fù)式晶格怎么辦？旺尼爾函數(shù)這是微擾論嗎？簡(jiǎn)并還是非簡(jiǎn)并？,緊束縛方法,1. 模型與微擾計(jì)算,緊束縛近似方法的思想,—— 電子在一個(gè)原子(格點(diǎn))附近時(shí)，主要受到該原子勢(shì)場(chǎng) 的作用，而將其它原子勢(shì)場(chǎng)的作用看作是微擾,—— 將晶體中電子的波函數(shù)近似看成原子軌道波函數(shù)的線 性組合，

3、得到原子能級(jí)和晶體中電子能帶之間的關(guān)系,—— LCAO理論 __Linear Combination of Atomic Orbitals,—— 原子軌道線性組合法 （how is H2 solved? ）,—— 簡(jiǎn)單晶格原胞只有一個(gè)原子,? 電子的原子束縛態(tài)波函數(shù),—— 電子在第m個(gè)原子附近運(yùn)動(dòng)，其它原子的作用是微擾,Wiki:In physics, a bound state is a composite of tw

4、o or more building blocks (particles or bodies) that behaves as a single object. In quantum mechanics (where the number of particles is conserved), a bound state is a state in the Hilbert space that corresponds to two or

5、 more particles whose interaction energy is negative, and therefore these particles cannot be separated unless energy is spent. The energy spectrum of a bound state is discrete, unlike the continuous spectrum of isolated

6、 particles. (Actually, it is possible to have unstable bound states with a positive interaction energy provided that there is an "energy barrier" that has to be tunneled through in order to decay. This is true

7、for some radioactive nuclei and for some electrets materials able to carry electric charge for rather long periods.)Extended state,? 電子的原子束縛態(tài)波函數(shù),—— 格點(diǎn)的原子在 處的勢(shì)場(chǎng),—— 電子第 i 個(gè)束縛態(tài)的波函數(shù),—— 電子第 i 個(gè)束縛態(tài)的能級(jí),? 晶體中電子的波函數(shù)

8、 滿足的薛定諤方程,—— 晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)___所有原子的勢(shì)場(chǎng)之和,—— 對(duì)方程進(jìn)行變換,—— 微擾作用,? 微擾以后電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),原子軌道線性組合 (LCAO),—— 晶體中有N個(gè)原子，有N個(gè)格點(diǎn)，環(huán)繞不同格點(diǎn)，有N 個(gè)類似的波函數(shù)，它們具有相同的能量本征值?i,—— 微擾以后晶體中電子的波函數(shù)用N個(gè)原子軌道簡(jiǎn)并波 函數(shù)的線性組合構(gòu)成,晶體中電子的波函數(shù),電子的薛定

9、諤方程,基本假定:擴(kuò)展態(tài)！,—— 正交關(guān)系,電子的波函數(shù),,以 左乘上面方程,積分得到,化簡(jiǎn)后得到,—— N種可能選取，方程是N個(gè)聯(lián)立方程中的一個(gè)方程,變量替換,勢(shì)場(chǎng)具有周期性,—— 積分只取決與相對(duì)位置,引入函數(shù),—— 表示方程中的積分項(xiàng),—— 周期性勢(shì)場(chǎng)減去原子的勢(shì)場(chǎng)，仍為負(fù)值,,—— 關(guān)于am為未知數(shù)的N個(gè)齊次線性方程組,—— am只由 來決定,方程的

10、解,—— 任意常數(shù)矢量,,這是FT嗎？不完整？,對(duì)于確定的,波函數(shù),晶體中電子的波函數(shù),能量本征值,? 晶體中電子的波函數(shù)具有布洛赫函數(shù)形式,改寫為,—— 晶格周期性函數(shù),— 簡(jiǎn)約波矢，取值限制在簡(jiǎn)約布里淵區(qū),周期性邊界條件,的取值有N個(gè)，每一個(gè) 值對(duì)應(yīng)波函數(shù),晶體中電子波函數(shù),原子束縛態(tài)波函數(shù),—— 兩者存在么正變換,—— N個(gè)波函數(shù)表示為,能量本征值,—— 對(duì)于原子的一個(gè)束縛態(tài)能級(jí)，k有N個(gè)取值,—— 原子結(jié)合成固體

11、后，電子具有的能量形成一系列能帶,? 簡(jiǎn)化處理,—— 表示相距為 兩個(gè)格點(diǎn)的波函數(shù),—— 當(dāng)兩個(gè)函數(shù)有一定重合時(shí)，積分不為零,能量本征值,—— 最完全的重疊,其次考慮近鄰格點(diǎn)的格矢,能量本征值,例題 計(jì)算簡(jiǎn)單立方晶格中由原子 s 態(tài)形成的能帶,? s 態(tài)的波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同,具有相同的值,表示為,s 態(tài)波函數(shù)為偶宇稱,能量本征值,—— 簡(jiǎn)立方六個(gè)近鄰格點(diǎn),代入,—— 第一布里

12、淵區(qū)幾個(gè)點(diǎn)的能量,,,,點(diǎn)和 點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)能帶底和能帶頂,—— 帶寬取決于J1，大小取決于近鄰原子波函數(shù)之間的相互重疊，重疊越多，形成能帶越寬,在能帶底部,在 附近按泰勒級(jí)數(shù)展開,將,能帶底部電子的有效質(zhì)量,在能帶頂部,在 附近按泰勒級(jí)數(shù)展開,將,能帶頂部電子的有效質(zhì)量,這里說的真是能帶？,得到與自由電子近似一樣的結(jié)果嗎？

13、 沒看清楚？ 1d模型 單帶 自由度問題,實(shí)際晶體,s、p、d、f 軌道 軌道雜化疊加原理化學(xué)鍵的方向性和飽和性 單帶 ? 多帶,2. 原子能級(jí)與能帶的對(duì)應(yīng),—— 一個(gè)原子能級(jí) ?i 對(duì)應(yīng)一個(gè)能帶，不同的原子能級(jí)對(duì)應(yīng)不同的能帶。當(dāng)原子形成固體后，形成了一系列能帶,—— 能量較低的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較窄—— 能量較高的能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶較寬,—— 簡(jiǎn)單情況下，原子能級(jí)和能帶之間有簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如ns帶、np帶、nd帶等

14、等,—— 由于p態(tài)是三重簡(jiǎn)并的，對(duì)應(yīng)的能帶發(fā)生相互交疊，d態(tài)等一些態(tài)也有類似能帶交疊,回憶量子力學(xué),有哪些能級(jí)劈列的例子？,緊束縛討論中 —— 只考慮不同原子、相同原子態(tài)之間的 相互作用,—— 對(duì)于內(nèi)層電子能級(jí)和能帶有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 對(duì)于外層電子，能級(jí)和能帶的對(duì)應(yīng)關(guān)系較為復(fù)雜,—— 一般的處理方法主要由幾個(gè)能量相近的原子態(tài)相互組合形成能帶略

15、去其它較多原子態(tài)的影響,—— 不考慮不同原子態(tài)之間的作用,—— 討論分析同一主量子數(shù)中的 s 態(tài)和 p 態(tài)之間相互作用,—— 處理思路和方法將各原子態(tài)組成布洛赫和再將能帶中的電子態(tài)寫成布洛赫和的線性組合最后代入薛定諤方程求解組合系數(shù)和能量本征值,—— 略去其它主量子數(shù)原子態(tài)的影響,—— 各原子態(tài)組成布洛赫和,—— 同一主量子數(shù)中的 s 態(tài)和 p 態(tài)之間相互作用,—— 能帶中的電子態(tài),—— 布洛赫和的線性組合,代入薛定諤方程,

16、求解組合系數(shù),能量本征值,—— 能帶中的電子態(tài),—— 復(fù)式格子,一個(gè)原胞中有l(wèi)個(gè)原子，原子的位置,—— 原胞中不同原子的相對(duì)位移,布洛赫和,—— ?表示不同的分格子，i 表示不同的原子軌道,—— 具有金剛石結(jié)構(gòu)的 Si ，原胞中有4個(gè)A位和1個(gè)B位原子,A位原子格子與B位原子格子的相對(duì)位移,—— 坐標(biāo)原點(diǎn)選取在A 位格子的格點(diǎn)上,Si 晶體中 3s 和 3p 軌道相互雜化至少需要八個(gè)布洛赫波,—— Si 的價(jià)帶和導(dǎo)

17、帶是上面八個(gè)布洛赫和的線性組合,—— 也可以看作是Si原子進(jìn)行軌道雜化，形成四個(gè)雜化軌道,近鄰原子的雜化軌道之間形成成鍵態(tài)和反鍵態(tài),—— 成鍵態(tài)對(duì)應(yīng)的四個(gè)能帶交疊在一起，形成 Si 的價(jià)帶—— 反鍵態(tài)對(duì)應(yīng)的四個(gè)能帶交疊在一起形成 Si 的導(dǎo)帶,為基礎(chǔ)形成布洛赫和, 形成能帶,? Wannier 函數(shù),緊束縛近似中，能帶中電子波函數(shù)可以寫成布洛赫和,對(duì)于任何能帶,Wannier 函數(shù),—— 一個(gè)能帶的Wannier 函數(shù)是由同一個(gè)

18、能帶的布洛赫函數(shù)所定義,—— 旺尼爾函數(shù)滿足正交關(guān)系,? 緊束縛作用,—— 如果晶體中原子之間的間距增大，當(dāng)電子距離某一原子較近時(shí)，電子的行為類似于孤立原子時(shí)的情形,電子波函數(shù),—— 這種情況下，旺尼爾函數(shù)也應(yīng)接近孤立原子的波函數(shù),代入薛定諤方程,滿足,電子波函數(shù),—— 對(duì)于沒有簡(jiǎn)并的s態(tài),用 左乘上式，然后積分,利用,—— 在原子之間的間距較大的情況下,只考慮