四.平行截面面積為已知的立體的體積

1、四、平行截面面積為已知的立體的體積,1、定義 對(duì)于空間一立體,如果用垂直與某一定軸的任意平面截立體,得到的截面面積都是已知的（即可以用學(xué)過(guò)的知識(shí) ,公式計(jì)算),由于這些截面都是互相平行的，則稱(chēng)為平行截面面積為已知的立體。,2、體積的求法 由于立體體積不以立體的位置改變而改變，因此，可取軸為坐標(biāo)軸，比如x軸。如圖所示，,設(shè)立體在x軸的投影為區(qū)間[a,b]， 而x=x得到截面面積為A(X),求其體積 。,用微分法

2、:分割[a,b]得到微分區(qū)間[x,x+dx]相應(yīng)于這一區(qū)間的薄片體積 的近似植可用以A(x)為底面積,高為dx的平頂柱體體積.于是得體積微元：,故所求體積：,例：一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的底圓中心并與底面交成角 ，計(jì)算這平面截圓柱體所得的立體的體積。,,解：如圖建立坐標(biāo)：取這平面與圓柱體的底面交線為上過(guò)圓中心且垂直與x軸的直線為y軸，則圓柱體的底圓方程為,截下的立體位于平面x=R與x=-R之間，顯然， [-R,R]

3、，過(guò)點(diǎn)x且垂直與于x軸的平面截立體所得的截面是一直角三角形，,其面積為：,,,,,因此體積微元,例：祖暅定理：”夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等。”,證：在空間直角坐標(biāo)系中，將兩平行平面中的一個(gè)作為xy坐標(biāo)軸，另一個(gè)平行平面與其相距h，設(shè)為z=h，于是，兩個(gè)幾何體夾在中間，如圖所示：,祖暅定理,過(guò)點(diǎn)z作平面z=h與兩個(gè)幾何體相截，得到的兩個(gè)截面P(z