畢業(yè)設(shè)計（論文）淺談中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論的問題及教學(xué)策略

1、<p>　　畢 業(yè) 設(shè) 計（論文）</p><p><b>　　2015屆</b></p><p>　　淺談中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論的問題及教學(xué)策略</p><p>　　THE PROBLEMS AND TEACHING STRATEGIES ON MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS CLASSIFICATION DISCUS

2、SION</p><p>　　學(xué)生姓名 </p><p>　　學(xué) 號 </p><p>　　院 系 數(shù)理信息學(xué)院 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　指導(dǎo)教師

3、 </p><p>　　完成日期 2015年5月11日 </p><p>　　淺談中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論的問題及教學(xué)策略</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想

4、，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)分類討論法。所謂數(shù)學(xué)分類討論方法，就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。分類討論思想貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，就其引起分類的原因，可歸結(jié)為：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；求解的數(shù)學(xué)

5、問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又能促進(jìn)學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力。</p><p>　　關(guān)鍵詞 分類討論；標(biāo)準(zhǔn)；原則；應(yīng)用；教學(xué)策略</p><p>　　THE PROBLEMS AND TEACHING STRATEGIES ON M

6、IDDLE SCHOOL MATHEMATICS CLASSIFICATION DISCUSSION</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　The mathematical classification thought, is essentially according to the same point and different

7、 points of the mathematical objects, a kind of mathematical thinking will be divided into several different types. It is thought a kind of important mathematics thought, it is also an important method in mathematical log

8、ic, in middle school mathematics is often expressed as a mathematical classification discussion method. The so-called mathematical classification discussion method, is a mathematical </p><p>　　KEY WORDS Clas

9、sification discussion; standard; principle; application; teaching strategies</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I</p><p>　　英

10、文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II</p><p>　　目錄．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．III</p><p>　　引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1</p><p

11、>　　1 簡述分類討論思想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2</p><p>　　2 分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)和原則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　3 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

12、3</p><p>　　3.1分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3</p><p>　　3.2分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5</p><p>　　3.3 分類討論思想在數(shù)列上的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

13、．．．．．．．．．．．．8</p><p>　　3.4分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10</p><p>　　3.5分類討論在最優(yōu)方案問題中的應(yīng)用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10</p><p>　　4 分類討論的教學(xué)策略．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

14、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11</p><p>　　5 總結(jié)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12</p><p>　　參考文獻(xiàn)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12</p><p>　　致謝．．．．．．．．．．．．．．．．．

15、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　數(shù)學(xué)分類討論既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)分類討論法。分類討論思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，關(guān)于分類討論的題目一般來說都有一定的難度，成為歷年高考的

16、寵兒，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題?？忌捎诳紤]不周，而導(dǎo)致失分現(xiàn)象嚴(yán)重。所以探究分類討論這一數(shù)學(xué)思想是有實際意義的。通過對近些年數(shù)學(xué)高考試卷的研究，發(fā)現(xiàn)分類討論思想在以下幾個方面的應(yīng)用最為明顯：1.分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用。2.分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用。3.分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用。4.分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用。5.分類討論思想在最優(yōu)方案問題中的應(yīng)用。此外，分類討論的題目在高考中占有一定比例，通過對近5年浙江、上海、北京、湖南、湖

17、北五地的高考試卷分類討論題型的總結(jié)，發(fā)現(xiàn)每年各地至少有兩道是分類討論題目，分值占到20分左右。而近年來，湖北高考卷分類討論題目特別多，很多大題都要進(jìn)行分類討論，因此分類討論思想非常重要。對分類討論的研究有助于提高考生在此類題的得分率。</p><p><b>　　表（一）</b></p><p><b>　　表（二）</b></p>

18、<p><b>　　表（三）</b></p><p><b>　　表（四）</b></p><p><b>　　表（五）</b></p><p>　　1 簡述分類討論思想</p><p>　　每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我

19、們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。</p><p>　　歐陽

20、獻(xiàn)忠和周紹云在2012年12月發(fā)表在宜春學(xué)院學(xué)報上有一文《數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類討論及其應(yīng)用》。該文從以下幾個方面對分類討論方法進(jìn)行了闡述:（1）分類討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和作用。（2）分類討論在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用原則。（3）分類討論的步驟及要注意的問題。（4）小結(jié)部分。就第二點，他們展開了如下闡述：a) 確定分類對象。b) 確定分類標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)合理地分類。c) 逐類求解或證明。d） 歸納、總結(jié)問題的結(jié)論。e） 多級分類討論。這篇文章較為系統(tǒng)的對

21、中學(xué)數(shù)學(xué)分類討論問題進(jìn)行了研究，尤其是在含參變量的數(shù)學(xué)問題需要分類討論的時候，研究的十分透徹。唯一的瑕疵在于多級分類討論部分缺乏強有力的例題作為應(yīng)證，舉得例子范圍比較狹窄。</p><p>　　而江西科技師范學(xué)院的萬志珍在《淺析中學(xué)數(shù)學(xué)中的分類討論思想方法》的畢業(yè)論中，從以下幾個方面對分類討論思想進(jìn)行了闡述：1.引言。2.在什么情況下要進(jìn)行分類要論以及分類討論的步驟、原則和方法。3.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

22、。4.結(jié)論。就第三點，她展開了如下闡述：a）由絕對值引起的分類討論。b）由不等式引起的分類討論。c)由等比數(shù)列前 錯誤!未找到引用源。項和公式引起的分類討論。d）由排列組合等問題引起的分類討論。e）由大小關(guān)系引起的分類討論。f）圓錐曲線的統(tǒng)一定義引起的討論。</p><p>　　2 分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)和原則</p><p>　　分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)：一般地，在集合上討論某一個數(shù)學(xué)問題時，可以

23、根據(jù)某個標(biāo)準(zhǔn)，把劃分為子類 錯誤!未找到引用源。這時，在上實施對問題的討論等價于在 錯誤!未找到引用源。上實施對問題的討論，把稱為分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。</p><p>　　分類討論思想的原則：</p><p>　?。?）同一性原則：分類應(yīng)該按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據(jù)。例如把三角形分為直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形和等腰三角形就不符合同一性原則，因為用了兩個不

24、同的原則。</p><p>　　（2）互斥性原則：分類后的每個子項應(yīng)互不相容，即要做到每個子項相互排斥，分類后不能有些元素既屬于這個子項，又屬于那個子項。例如將三角形分為等腰三角形和等邊三角形不符合互斥性原則，因為子項不互斥。</p><p>　?。?）層次性原則：分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象只進(jìn)行分類一次；多次分類是把分類后的所有子項作為母項，再進(jìn)行分類，直到滿足

25、需要為止。例如對不等式 錯誤!未找到引用源。的解的討論，要進(jìn)行多次分類討論。先對是否等于進(jìn)行第一次討論，當(dāng)時，又可以分為和進(jìn)行第二次討論。當(dāng)時，又可以對兩根的大小進(jìn)行第三次討論。</p><p>　　3 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　3.1 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　一般來說，此類題目所占分值不大，常常出現(xiàn)在選擇填空題，考

26、查的數(shù)學(xué)思想比較廣泛，分類討論思想和換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想通常要結(jié)合使用。</p><p>　　例1.（2014年浙江卷）15.設(shè)函數(shù) 錯誤!未找到引用源。 ，若，則實數(shù)的取值范圍是________</p><p>　　分析：本題考查分段函數(shù)的知識，考查分段函數(shù)背景下求解不等式的等價轉(zhuǎn)換的能力，以及分類討論和換元的數(shù)學(xué)思想方法，難度中等。</p><p

27、>　　解：令則 錯誤!未找到引用源。 ，等價于 錯誤!未找到引用源。 ①或 ②</p><p>　　解①得 錯誤!未找到引用源。 ，解②得，所以。于是 ，此等價于③ 或 錯誤!未找到引用源。 ④ ，解③得 ，解④得 ,所以.</p><p>　　例2.（2014湖北卷）10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，。若， 錯誤!未找到引用源。則實數(shù) 錯誤!未找到引用源。的取值范圍為（

28、 ）</p><p>　　分析：本題考查分段函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的圖像、不等式恒成立問題、一元一次不等式以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，難度較大。</p><p><b>　　解：因為當(dāng)時， ,</b></p><p>　　錯誤!未找到引用源。所以當(dāng)時， 錯誤!未找到引用源。；</p><p>　　

29、當(dāng)時， 錯誤!未找到引用源。；</p><p>　　當(dāng)時， 錯誤!未找到引用源。，綜上， </p><p>　　錯誤!未找到引用源。因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱作出函數(shù) 錯誤!未找到引用源。在R上的大致圖像，觀察圖像可知，要使, 錯誤!未找到引用源。則需滿足 錯誤!未找到引用源。，解得 錯誤!未找到引用源。</p><p>　　例3.（2013上海卷）12.設(shè)

30、為實常數(shù)，是定義在 錯誤!未找到引用源。上的奇函數(shù)，當(dāng) 錯誤!未找到引用源。時， 錯誤!未找到引用源。.若 錯誤!未找到引用源。對一切成立，則的取值范圍為________</p><p>　　分析：本題考查函數(shù)的奇偶性及函數(shù)不等式的求解問題，其中運用了分類討論思想，難度中等。</p><p>　　解：是定義在上的奇函數(shù)， 錯誤!未找到引用源。，且當(dāng)時，，此時由 錯誤!未找到引用源。得 錯誤

31、!未找到引用源。，解得，當(dāng)時，，此時由 錯誤!未找到引用源。得，由此不等式恒成立及, 錯誤!未找到引用源。（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）可得 錯誤!未找到引用源。，結(jié)合，可得 錯誤!未找到引用源。，解得，綜上得的取值范圍為 錯誤!未找到引用源。</p><p>　　例4.（2012北京卷）14.已知,若同時滿足條件：</p><p>　?、?錯誤!未找到引用源。 ②</p>

32、;<p>　　則的取值范圍是________</p><p>　　析：本題考查一元二次不等式的解法、方程根的分布及數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的運用，考查學(xué)生的綜合分析與轉(zhuǎn)化能力，難度較大。</p><p>　　解：由于當(dāng)時，；當(dāng)時， 錯誤!未找到引用源。，故據(jù)題意得只需當(dāng)時， 錯誤!未找到引用源。即可，當(dāng)時，二次函數(shù)開口方向向上，不符合時， 錯誤!未找到引用源。，故必有，結(jié)合二次

33、函數(shù)圖像只需兩根滿足 錯誤!未找到引用源。 即可，解得，對于條件②，由于 錯誤!未找到引用源。，故只需當(dāng) 錯誤!未找到引用源。時，使得即可，此時應(yīng)使得比方程兩根中的小根大即可，當(dāng)時，只需，解得，不符合條件舍去；當(dāng), 錯誤!未找到引用源。不符合題意，當(dāng),解得，綜上得：的取值范圍是.</p><p>　　3.2 分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　一般來說，此類題目所占分值較大，

34、常出現(xiàn)在高考壓軸題，難度普遍較大。此類題目一般可以分為兩類，含參變量和不含參變量。含參變量題目難度一般較大。</p><p>　　例1.（2014年北京卷）18.已知函數(shù) </p><p><b>　　（1）求證：</b></p><p>　?。?）若對 錯誤!未找到引用源。恒成立，求的最大值與的最小值.</p><p>

35、;　　分析：第一問很簡單，考生很容易做出來。第二問有點難度，要進(jìn)行分類討論。</p><p>　　解：（2）當(dāng)時，等價于， </p><p><b>　　等價于</b></p><p><b>　　令則</b></p><p>　　當(dāng)時，對任意 錯誤!未找到引用源。恒成立。</p>

36、<p>　　當(dāng)時，對任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而對任意恒成立。</p><p>　　當(dāng)時，存在唯一的，使得</p><p>　　因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，進(jìn)一步，“對任意 恒成立”，當(dāng)且僅當(dāng) 錯誤!未找到引用源。，即.</p><p>　　綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，對任意 錯誤!未找到引用源。恒成立。</p><p>　　當(dāng)且僅

37、當(dāng)時，對任意恒成立。</p><p>　　所以，若對 錯誤!未找到引用源。恒成立，則的最大值為，的最小值為.</p><p>　　例2.（2014年浙江卷）22.已知函數(shù)</p><p>　　若在上的最大值和最小值分別記為求； 錯誤!未找到引用源。</p><p>　　設(shè). 若對恒成立 錯誤!未找到引用源。，求的取值范圍。</p>

38、<p>　　分析：本題主要考查函數(shù)的最大(最小)值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證、分類討論（多級分類討論）、分析問題和解決問題等綜合解題能力。</p><p>　　解：（1）因， 所以由于，</p><p>　?。╥）當(dāng)時，有，故，此時在 錯誤!未找到引用源。上是增函數(shù)，因此，， 錯誤!未找到引用源。，所以.　</p><p&

39、gt;　?。╥i）當(dāng) 錯誤!未找到引用源。時，若， 錯誤!未找到引用源。，在上是增函數(shù)；</p><p>　　若 錯誤!未找到引用源。，，在上是減函數(shù) 錯誤!未找到引用源。。所以 錯誤!未找到引用源。， 錯誤!未找到引用源。 .由于，因此當(dāng) 錯誤!未找到引用源。時， 錯誤!未找到引用源。，當(dāng)時，</p><p>　　（iii）當(dāng)時，有，故，此時 錯誤!未找到引用源。在上是減函數(shù)，因此.&l

40、t;/p><p><b>　　綜上得：</b></p><p>　　第二問與第一問解題方法相似，得出.</p><p>　　例3.（2014湖南卷）22.已知常數(shù)， 錯誤!未找到引用源。函數(shù).</p><p>　　討論在區(qū)間上的單調(diào)性。</p><p>　　若存在兩個極值點，且，求的取值范圍</

41、p><p>　　分析：第一小問只是簡單的運用了分類討論，第二小問運用了多級分類討論，難度比較大。</p><p><b>　　解:</b></p><p>　?。?）（ 錯誤!未找到引用源。）</p><p>　　當(dāng)時，，此時，在區(qū)間上單調(diào)遞增。</p><p>　　當(dāng)時，由得 錯誤!未找到引用源。

42、，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。</p><p>　　(2)由（ 錯誤!未找到引用源。）知，當(dāng)時，，此時不存在極值點。因而要有極值點，必有.又的極值點只可能是，且由 錯誤!未找到引用源。的定義可知， ，所以 錯誤!未找到引用源。 ，，解得</p><p>　　此時，由（ 錯誤!未找到引用源。）易知，分別為的極小值點和極大值點。而，令 錯誤!未找到引用源。，由且知，當(dāng)

43、時，；當(dāng)時， 錯誤!未找到引用源。 .記</p><p>　?。╥）當(dāng)時，因為，對之求導(dǎo)可得 ，因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，故當(dāng)時，.</p><p>　　（ii）當(dāng)時，，，因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，故當(dāng)時，.</p><p>　　綜上所述，滿足條件 錯誤!未找到引用源。的取值范圍是 錯誤!未找到引用源。.</p><p>　　3.3

44、分類討論思想在數(shù)列中的應(yīng)用</p><p>　　一般來說，此類題目出現(xiàn)在解答題前幾題，很少放在壓軸題。難度普遍不大。常對公差和公比進(jìn)行分類討論。</p><p>　　例1.（2014湖北卷）18.已知等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列。</p><p><b>　　求數(shù)列的通項公式。</b></p><p>　　記為數(shù)列的前項

45、和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，請說明原因。</p><p>　　分析：本題難度一般，用了分類討論，分兩種情況進(jìn)行討論。</p><p>　　解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為, 錯誤!未找到引用源。依題意,成等比數(shù)列，故有，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，</p><p>　　從而得數(shù)列 錯誤!未找到引用源。的通項公式為或.</p><p>

46、;　?。?）當(dāng)時，，顯然，此時不存在正整數(shù) 錯誤!未找到引用源。，使得成立。當(dāng)時，，令，解得，所以存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為</p><p>　　綜上：當(dāng)時，不存在滿足題意的，</p><p>　　當(dāng)時，存在滿足題意的 錯誤!未找到引用源。，的最小值為.</p><p>　　例2.（2014上海卷）23.已知數(shù)列滿足，，</p><p>

47、;　　若， 錯誤!未找到引用源。求的取值范圍；</p><p>　　設(shè)是公比為 錯誤!未找到引用源。的等比數(shù)列， 錯誤!未找到引用源。，若，，求的取值范圍；</p><p>　　若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值以及取最大值時相應(yīng)數(shù)列的公差。</p><p>　　分析：本題難度較大，第二問用了分類討論，對 錯誤!未找到引用源。的取值范圍進(jìn)行分類討論。</p&g

48、t;<p>　　解：（1）由條件得且，解得,所以的取值范圍是</p><p>　?。?）由，且，得， 錯誤!未找到引用源。所以 錯誤!未找到引用源。，又，所以.當(dāng)時，，由得成立。當(dāng)時，，即</p><p>　?、偃?，則，由，得，所以.</p><p>　?、谌魰r，則，由，得，所以.</p><p>　　綜上得：的取值范圍是.&l

49、t;/p><p>　　(3)設(shè)的公差為，由，且，得， 錯誤!未找到引用源。，即 錯誤!未找到引用源。，當(dāng)時，；當(dāng)時，由 錯誤!未找到引用源。得 錯誤!未找到引用源。，所以 錯誤!未找到引用源。，所以 錯誤!未找到引用源。，即，得，所以 錯誤!未找到引用源。的最大值為，公差為.</p><p>　　例3.（2013浙江卷）18.在公差為的等差數(shù)列 錯誤!未找到引用源。中，已知，且成等比數(shù)列。&l

50、t;/p><p>　　求， 錯誤!未找到引用源。</p><p><b>　　若，求</b></p><p>　　分析：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列概念，等差數(shù)列通項公式、求和公式，貫穿了分類討論思想，難度一般。</p><p>　　解：（1）由題意得，即，所以</p><p><b>　　

51、所以或 </b></p><p>　?。?）設(shè)數(shù)列的前項和為，因為，所以，，則當(dāng)時， 錯誤!未找到引用源。，當(dāng)時，，綜上所述，</p><p>　　3.4 分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用</p><p>　　一般來說，此類題目分值不大，出現(xiàn)在選擇填空題。浙江卷偏愛出這種題型，難度一般。</p><p>　　例1.（2013浙江卷）

52、14.將這六個字母排成一排，且均在的同側(cè)，則不同的排法共有________種（用數(shù)字作答）。</p><p>　　解：若均在的左側(cè)，有種，在將逐個插空，有種，所以共種；若均在的右側(cè)，同樣有種，故共有種。</p><p>　　例2.（2012浙江卷）6.若將這個整數(shù)中同時取個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（ ）種。</p><p>　　分析：本題主要考查分

53、類計數(shù)原理和組合等基礎(chǔ)知識，考查考生分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力，此外還有簡單的分類討論能力，屬中檔題。</p><p>　　解：分三類：（1）四個偶數(shù)：種；（2）二個偶數(shù)二個奇數(shù)：種；（3）四個奇數(shù)：種；所以共有種。</p><p>　　3.5 分類討論思想在最優(yōu)方案問題中的應(yīng)用</p><p>　　一般來說，此類題目難度中等。出現(xiàn)頻率不高（近年只出現(xiàn)

54、過次，湖南湖北各次），其它省份（如浙江、上海、北京三地近年沒出現(xiàn)過此類題目）。主要考查考生對材料的理解和解決問題的能力。</p><p>　　例1.（2014湖北卷）20.計劃在某水庫建一座至多安裝臺發(fā)電機的水電站。過去年的水文資料顯示，水庫年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和。單位：億立方米）都在以上。其中，不足的年份有年，不低于且不超過的年份有年，超過的年份有年。將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)

55、段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立。</p><p>　?。?）求未來年中，至多有年的年入流量超過的概率；</p><p>　　水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能的運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量 錯誤!未找到引用源。限制，并有如下關(guān)系：</p><p>　?。?）若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損萬元。欲使水電站的年利潤

56、的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝發(fā)電機多少臺？</p><p>　　分析：第二問用了分類討論，本題比較新穎，有一點難度，考查了學(xué)生對問題的綜合分析能力和分類討論能力。</p><p>　　解：（2）記水電站年總利潤為（單位：萬元）</p><p>　　（i）安裝臺發(fā)電機的情形。</p><p>　　由于水庫年入流量總大于，故一臺發(fā)電機運行的概率為，對

57、應(yīng)的年利潤. </p><p>　　（ii）安裝臺發(fā)電機的情形。</p><p>　　依題意，當(dāng)時，一臺發(fā)電機運行，此時， 錯誤!未找到引用源。因此；當(dāng)時，兩臺發(fā)電機運行，此時 錯誤!未找到引用源。，因此</p><p>　　所以，. 錯誤!未找到引用源。</p><p>　?。╥ii）安裝臺發(fā)電機的情形。</p><p&

58、gt;　　依題意，當(dāng) 錯誤!未找到引用源。時，一臺發(fā)電機運行，此時，</p><p>　　因此；當(dāng)時，兩臺發(fā)電機運行，此時，因此；</p><p>　　當(dāng)時，三臺發(fā)電機運行，此時 錯誤!未找到引用源。，因此</p><p><b>　　所以，</b></p><p>　　綜上，欲使水電站的年利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)該安裝發(fā)

59、電機臺.</p><p>　　4 分類討論的教學(xué)策略</p><p>　　在縱觀最近幾年的數(shù)學(xué)高考題（尤其是浙江、上海、北京、湖南、湖北這五地），可以明顯的發(fā)現(xiàn)分類討論問題占用一定的比例，而且分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用最為重要，它考的往往是壓軸題，難度一般較大。此外，學(xué)生在面對較難的分類討論問題時，雖然知道要進(jìn)行分類討論，但苦于無從下手，或分類不清、對某些情況會有所遺漏。所以，在日常的數(shù)學(xué)

60、教學(xué)中，教師要滲透分類討論思想。</p><p>　　首先，教師在備課的時候，要有意識的結(jié)合本節(jié)課的具體教學(xué)內(nèi)容，來滲透分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識和思考的周密性和條理性，把分類討論思想融入到具體的教學(xué)過程中。一般來說，分類討論問題可歸結(jié)為以下幾個方面：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；運用的數(shù)學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的

61、取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。所以在講授絕對值等數(shù)學(xué)概念時可以滲透分類討論思想，在法則的推導(dǎo)過程中體現(xiàn)分類討論思想，在求解數(shù)學(xué)問題的過程中應(yīng)用數(shù)學(xué)分類討論思想。</p><p>　　其次，教師在上課的時候（分類討論問題），不能一味的追求教學(xué)進(jìn)度，不給學(xué)生留有充足的思考時間，針對學(xué)生分類討論中出現(xiàn)的問題要及時的給予指導(dǎo)及糾正。</p><p>　　此外，教師應(yīng)該開設(shè)分類討論專題課，總結(jié)出高考常見的分

62、類討論題目，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)。而高考中常見的分類討論題型，無外乎以下幾種：分類討論思想在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、排列組合、集合、最優(yōu)化問題的應(yīng)用。而前兩種情況是比較重要的，在歷年高考試題中占有很大比重，教師該多出例子、及時引導(dǎo)，學(xué)生認(rèn)真練習(xí)、扎實的掌握。</p><p>　　最后，很多數(shù)學(xué)問題中往往不是簡單的運用一種分類討論思想就能解決問題，分類討論思想往往會和換元思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證思想等結(jié)合來

63、運用。因此，學(xué)生掌握分類討論思想還是有所欠缺的，應(yīng)該掌握多種數(shù)學(xué)思想。而有一些題目可以避免分類討論思想，使問題簡單化，所以對于分類討論思想，學(xué)生該靈活運用。</p><p><b>　　5 總結(jié)</b></p><p>　　隨著新課程改革的不讀那深入，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中的重要內(nèi)容已經(jīng)引起教育者的普遍關(guān)注，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)將數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)列入數(shù)學(xué)的課程目

64、標(biāo)。而分類討論思想作為高中四大數(shù)學(xué)思想之一，顯得尤為重要。教師在日常的教學(xué)活動中，應(yīng)該有意無意地貫徹數(shù)學(xué)分類討論思想，分類討論思想的掌握不是一朝一夕的事情，所以要循序漸進(jìn)，逐步深化，給學(xué)生留有思考的空間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師要采取靈活的教學(xué)手段實施分類討論教學(xué)。而分類討論思想往往與其它思想有著交集，因此教師在教學(xué)過程中，要結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法。教師通過積極的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力，鍛煉學(xué)生的思維的深刻性、周密性和條理性，從而提

65、高學(xué)生的解題能力。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 薛金星. 高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧（第三版）[M].高等教育出版社，2003(08): 82-85.</p><p>　　[2] 郭可銀. 談分類討論思想方法在解題中的應(yīng)用（高中版）[M].高等教育出版社，2005(04): 128-130.</p

66、><p>　　[3] 劉敬華. 淺議分類討論在解題中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)). 2008(05): 20-21.</p><p>　　[4] 劉俊霞，來曉宇. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) [M].首都師范大學(xué)出版社2013(09):6-10.</p><p>　　[5] 顧華. 簡化和避免分類討論方法略談[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊. 2006(03): 42-44. &l

67、t;/p><p>　　[6] 歐陽獻(xiàn)忠，周紹云. 數(shù)學(xué)教學(xué)中的分類、討論及其應(yīng)用[J].宜春學(xué)院學(xué)報. 2010(12): 10-12.</p><p>　　[7] 海防. 淺談分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版). 2009(06): 77.</p><p>　　[8] 張朔. 用分類討論思想解含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題[J]. 中學(xué)教學(xué)參考. 20

68、10(11): 52.</p><p>　　[9] 黃新顏. 分類討論思想在解題教學(xué)中的實踐和思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué). 2013(08): 80-82.</p><p>　　[10] 張?zhí)烀? 例談分類討論的常見依據(jù)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究. 2008(08): 45-47.</p><p>　　[11] 天利全國高考命題研究中心 北京天利考試信息網(wǎng)編 天利38套20

69、10-2014最新五年高考真題匯編詳解 [M]. 數(shù)學(xué)（理科） 西藏人民出版社.</p><p>　　[12] 劉華，張耀輝. 3年高考，2年模擬 [M]. 2009(04) 首都師范大學(xué)出版社.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本論文實在導(dǎo)師XXX的精心指導(dǎo)下完成的。從開始寫作到論文的完成，總共花費我半個月左右的

70、時間。在此期間，我查閱了相當(dāng)多的前人的研究資料，特別是歐陽獻(xiàn)忠和周紹云的對分類討論的研究給了我很大的啟示。此外，在做畢業(yè)設(shè)計的每個階段，從選題到查閱資料，文獻(xiàn)綜述和開題報告的編輯和修改，論文提綱的確定，前期論文的修改，以及論文格式的修改，XXX導(dǎo)師給了我很大的幫助。最后，感謝母校文理學(xué)院對我四年來的培養(yǎng)，還有那些任課教師，身邊的同學(xué)曾經(jīng)對我的幫助，在此，表示深深的感謝。</p><p>　　最后，十分感謝各位老師