數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文----行列式的計(jì)算

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題目（中文）： 行列式的計(jì)算 </p><p>　?。ㄓ⑽模篢he Calculation of Determinant </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要

2、I</b></p><p><b>　　關(guān)鍵詞I</b></p><p>　　AbstractI</p><p>　　Key wordsI</p><p><b>　　1前言1</b></p><p>　　2行列式的定義及其性質(zhì)2</p>

3、<p>　　3針對(duì)各種行列式的一般結(jié)構(gòu)特點(diǎn)歸納出常用的計(jì)算方法9</p><p><b>　　3.19</b></p><p><b>　　3.211</b></p><p><b>　　3.316</b></p><p><b>　　3.418&

4、lt;/b></p><p><b>　　3.521</b></p><p><b>　　3.623</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)26</b></p><p><b>　　致 謝27</b></p><p&

5、gt;<b>　　附 錄</b></p><p><b>　　行列式的計(jì)算</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　行列式是解決線性代數(shù)的工具，它的產(chǎn)生和最早的應(yīng)用都是在解線性方程組中，現(xiàn)在的應(yīng)用范圍已拓寬得較為廣泛，成為數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及工科許多課程的重要工具。行列式

6、的計(jì)算問(wèn)題非常重要，它是行列式理論的重要組成部分。計(jì)算行列式的一般方法是不存在的（若不計(jì)在行列式定義中所給出的表達(dá)式的話）。處理特殊類型的行列式應(yīng)用著各種不同的計(jì)算方法，這些方法可以簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。本文第一部分是一般行列式的計(jì)算方法，介紹了定義法、化為上（下）三角形法、典型字母行列式法、利用“奇數(shù)階反對(duì)稱行列式等于零”的性質(zhì)、降階法、升階法、拆項(xiàng)法、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法、分離線性因子法、公式法、元素變形法、乘積法、乘以已知行列式法、輔

7、助法并且這16種方法對(duì)應(yīng)相應(yīng)的例題。第二部分是分塊矩陣的行列式的計(jì)算方法。 </p><p><b>　　關(guān)鍵詞</b></p><p>　　行列式；線性代數(shù)；計(jì)算方法 The Calculation of Determinant</p><p><b>　　Abstract</b></p>

8、<p>　　The determinant is a tool to solve the linear algebra, its emergence and the earliest application are in solving linear equations, now the application scope get broader and broader and become the important to

9、ol for many courses,for example mathematics, physics and engineering and so on. The calculation of determinant is very important, it is an important part of the theory of the determinant. The general method of calculatin

10、g the determinant is not exist (if it is neglected in determinant defini</p><p>　　should applicate various calculation method, these methods can simplify the calculation of determinant </p><p>　

11、　The first part of this text is general calculation method of determinant and it introduces the definition method, into the upper (lower) triangle method, typical letters determinant method, using "odd number order

12、antisymmetry determinant equals to zero" nature, order reduction method, order addition method, tear open study method, the recursive method, mathematical induction, separation linear factor method, formula method,

13、element shape-shifting method, product method, multiplied by the known </p><p>　　The second part is the calculation methods of partitioned matrix determinant. </p><p><b>　　Key words</b&

14、gt;</p><p>　　Determinant；the linear algebra；calculation method</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　行列式最早出現(xiàn)在十六世紀(jì)關(guān)于線性方程組的求解問(wèn)題，時(shí)至今日行列式的應(yīng)用卻遠(yuǎn)不及如此，它在消元法，矩陣論，坐標(biāo)變換，多重積分中的變量替換，解行星運(yùn)動(dòng)的微分

15、方程，二次型有廣泛應(yīng)用，它不僅是線性代數(shù)的核心和基礎(chǔ)，也是線性代數(shù)理論中極其重要的組成部分。近些年，已有許多作者探究過(guò)行列式的性質(zhì)及其計(jì)算方法，如張?jiān)辉频摹皀 階r- 循環(huán)行列式的計(jì)算”，陳煒的“用間接遞推法計(jì)算行列式”等。</p><p>　　通過(guò)對(duì)行列式的定義性質(zhì)及計(jì)算方法的探究，了解到行列式是一定是方陣，也就是行數(shù)和列數(shù)相等。行列式是矩陣的所有不同行且不同列的元素之積的代數(shù)和，和式中每一項(xiàng)的符號(hào)由積的各元素

16、的行指標(biāo)與列指標(biāo)的逆序數(shù)之和決定：若逆序數(shù)之和為偶數(shù)，則該項(xiàng)為正；若逆序數(shù)之和為奇數(shù)，則該項(xiàng)為負(fù)。當(dāng)然根據(jù)定義對(duì)行列式進(jìn)行計(jì)算是一種方法，但如果行列式的階數(shù)較高的話，用定義去求解的話會(huì)比較麻煩，所以根據(jù)行列式某些結(jié)構(gòu)特點(diǎn)探究一些較簡(jiǎn)便的計(jì)算方法將具有重要意義。</p><p>　　下面來(lái)介紹一下全文的結(jié)構(gòu)，來(lái)幫助大家認(rèn)識(shí)整篇文章的大意。全文共分為三個(gè)部分，第一部分介紹行列式的定義及其性質(zhì)，第二部分針對(duì)各種行列式的

17、一般結(jié)構(gòu)特點(diǎn)歸納出常用的計(jì)算方法，第三部分對(duì)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的行列式歸納出特殊的計(jì)算方法，并加以總結(jié)。上面對(duì)全文有了一個(gè)整體的概括，接下來(lái)將具體細(xì)致的對(duì)三個(gè)部分進(jìn)行論述。</p><p>　　2．行列式的定義及其性質(zhì)</p><p><b>　　2．1逆序數(shù)</b></p><p><b>　　2．1.1 定義</b></

18、p><p>　　個(gè)互不相等的正整數(shù)任意一種排列為：，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說(shuō)有一個(gè)逆序數(shù)，該排列全部逆序數(shù)的總合用表示，等于它所有數(shù)字中后面小于前面數(shù)字的個(gè)數(shù)之和。例如：</p><p><b>　　2．1.2 性質(zhì)</b></p><p>　　一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性，即 。</

19、p><p><b>　　證明如下：</b></p><p>　　設(shè)排列為，作次相鄰對(duì)換后，變成，再作次相鄰對(duì)換后，變成，共經(jīng)過(guò)次相鄰對(duì)換，而對(duì)不同大小的兩元素每次相鄰對(duì)換逆序數(shù)要么增加1 ，要么減少1 ，相當(dāng)于，也就是排列必改變改變奇偶性，次相鄰對(duì)換后，故原命題成立。</p><p>　　2．2．階行列式的定義及拓展</p><

20、p>　　【例1】展開(kāi)三階行列式： </p><p>　　解: 方法：固定行號(hào)1，2，3；列號(hào)可任意排列為，所有可能排列相應(yīng)的逆序數(shù)如下，共計(jì)種。</p><p><b>　　故</b></p><p>　　2.3 階行列式展項(xiàng)的特點(diǎn)</p><p>　　階行列式展開(kāi)后，共有項(xiàng)，每一項(xiàng)中唯一包含且必須包含每

21、一行和每一列中的一個(gè)元素，不能重復(fù)和也不能缺少，理解這一特點(diǎn)可以很快計(jì)算出結(jié)論只有少數(shù)幾項(xiàng)的行列式。</p><p><b>　　2.4 符號(hào)意義</b></p><p>　　中，代表第3行的全部元素； 表第5列的全部元素；余類推。不要錯(cuò)誤理解為一個(gè)元素；</p><p>　　行列式---determinant,故常常把寫(xiě)成。行---row,

22、一般用表示第一行與第二行對(duì)換，余類推。列----column, 用表示第二列與第七列對(duì)換，余類推。</p><p>　　2.5當(dāng)行列式的元素是的函數(shù)，對(duì)行列式一階微分時(shí)（以三階為例），有下列關(guān)系：</p><p>　　2.6．階行列式的5大性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)1：轉(zhuǎn)置（行與列順次互換）其值不變。</p><p>　　性質(zhì)2：互換任意

23、兩行（列）其值變號(hào)。</p><p>　　性質(zhì)3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符號(hào)外。</p><p>　　性質(zhì)4：任意行列式可按某行（列）分解為兩個(gè)行列式之和。</p><p>　　性質(zhì)5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列），其值不變。</p><p>　　行列式的五大性質(zhì)全部可通過(guò)其定義證明；而以后對(duì)行列式的運(yùn)算主要是利用這五

24、個(gè)性質(zhì)。</p><p>　　評(píng) 注 對(duì)性質(zhì)4的重要拓展：</p><p>　　設(shè)階同型矩陣，，而行列式只是就某一列分解，所以，應(yīng)當(dāng)是個(gè)行列式之和，即。</p><p>　　以我們經(jīng)常遇到三階行列式的特征值問(wèn)題舉例如下：</p><p>　　其中，表示取被展開(kāi)的行列式中的各列的第一子列，余類推。</p><p>　　

25、特別地，如特征值行列式中，有兩行或兩列對(duì)應(yīng)成比例，上述公式可以簡(jiǎn)化為：</p><p>　　評(píng) 注 韋達(dá)定理的一般形式為： </p><p>　　2.7．行列式元素的余子式展開(kāi)和階子式的余子式展開(kāi)定理</p><p>　　2.7.1余子式的概念</p><p>　　元素的余子式：把行列式中某元素所在的行與列全部劃掉，剩余的元素組成的新行

26、列式，稱為該元素的余子式，用表示。如果再考慮余子式的符號(hào)，則稱該元素的代數(shù)余子式，用表示。</p><p>　　階子式的余子式：把行列式中任意指定行與列的交叉元素組成的子行列式（稱階子式）所在的行與列全部劃掉，剩余的元素組成的新行列式，叫階子式的余子式，也用表示。如果再考慮余子式的符號(hào)，則稱階子式的代數(shù)余子式，用表示。</p><p>　　其中：為所在的行的具體序號(hào)；為所在的列的具體序號(hào)。

27、</p><p>　　例如：中，二階子式的余子式為；</p><p>　　二階子式的代數(shù)余子式為。</p><p>　　2.7.2 行列式按某一行或一列元素的代數(shù)余子式展開(kāi)定理 </p><p>　　評(píng) 注 元素的代數(shù)余子式與該元素?zé)o關(guān)，行列式按某一行元素的代數(shù)余子式展開(kāi)形式中，代數(shù)余子式前面乘以不同的系數(shù)就

28、可以得到不同的行列式。</p><p>　　如果把上述等式兩邊的中括號(hào)里的元素?fù)Q成不同的值，就變成不同的行列式了。</p><p>　　2.7.3 行列式按階子式的代數(shù)余子式展開(kāi)（拉普拉斯定理）： </p><p>　　下面是經(jīng)常使用的兩個(gè)特殊的拉普拉斯展開(kāi)式：</p><p><b>　　2.8．萊姆法則</b><

29、;/p><p>　　2.8.1 克萊姆法則</p><p><b>　　元非齊次方程組：</b></p><p><b>　　方程有唯一解：。</b></p><p>　　其中是將中的第列元素?fù)Q成常數(shù)，其余元素不變而得到的行列式。</p><p>　　如果，對(duì)應(yīng)方程組叫齊次方程組

30、。</p><p>　　2.8.2 克萊姆法則的應(yīng)用范圍</p><p>　?、僦贿m用于方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的情形；</p><p>　?、冢巳R姆法則失效，方程可能有解，也可能無(wú)解；</p><p>　?、埤R次方程組總是有解，當(dāng)無(wú)窮多個(gè)解（有非零解）；只有唯一的零解。</p><p><b>　　求&

31、lt;/b></p><p><b>　　解：方法一：</b></p><p>　　方法二：利用拉普拉斯展開(kāi)：</p><p>　　【例】設(shè)行列式 ，則有多少個(gè)根？</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　3.針對(duì)各種行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)歸納出常用的計(jì)

32、算方法</p><p>　　3．1范德蒙行列式的計(jì)算</p><p>　　范德蒙德行列式的標(biāo)準(zhǔn)形式為:</p><p>　　即n 階范德蒙行列式等于a1 ,a2,a3,…an這n個(gè)數(shù)的所有可能的差的乘積。根據(jù)范德蒙德行列式的特點(diǎn),可以將所給行列式化為范德蒙德行列式,然后利用其計(jì)算。常見(jiàn)的方法有以下幾種。</p><p>　　(1).用加邊法轉(zhuǎn)

33、化為范得蒙行列式</p><p>　　例1:計(jì)算n 階行列式</p><p><b>　　Dn=</b></p><p>　　分析:行列式Dn與范德蒙行列式比較少了一個(gè)xin-1(i=1,2,…,n),利用加邊的方法在第n-1行與第n之間加上含有xin-1 (i=1,2,…,n)的行，再加上相應(yīng)的一列1，x1,x2…xn則利用行列式的展開(kāi)式中

34、xn-1的系數(shù)可得行列式Dn的解。</p><p>　　解:考慮n+1階范德蒙行列</p><p>　　Dn+1= =（x-）(x-) ．．．(x-)</p><p>　　由于行列式Dn恰好是行列式Dn+1的元素的余子式Mn,n+1,即：</p><p>　　Dn= Mn,n+1=-A n,n+1,而由Dn+1按第n+1列展開(kāi)的表達(dá)式及韋達(dá)定

35、理知的系數(shù)為：</p><p>　　An,n+1=-（x1+x2+…+xn）</p><p>　　故Dn=（x1+x2+…+xn）</p><p>　?。?）.利用行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式</p><p>　　例2:計(jì)算n+1階行列式</p><p><b>　　,</b></p>

36、;<p><b>　　Dn+1=</b></p><p>　　分析:該行列式的排列規(guī)律與范德蒙行列式的排列規(guī)律正好相反,為使Dn+1中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列, 可以將第n+1行依次與上行交換自至第1行, 第n行依次與上行交換自至第2行,??,第2行依次與上行交換自至第n行,于是共經(jīng)過(guò)n+(n-1)+ +2+1= 次行的交換得到n+1階范德蒙德行列式。</p&g

37、t;<p><b>　　解： </b></p><p>　　Dn+1=( -1) </p><p>　　= ( -1)(a-1-a)(a-2-a) (a-n-a)[a-2-(a-1)][a-n-(a-(n-1))]</p><p><b>　　=</b></p><p>　　(3).利

38、用乘法規(guī)則轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式</p><p><b>　　Dn+1=</b></p><p>　　分析:此行列式中每一個(gè)元素都可以利用二項(xiàng)式定理展開(kāi),可以變成乘積的和。根據(jù)行列式的乘法規(guī)則D = D1. D2.</p><p>　　解：設(shè)D1= ，D2= </p><p>　　對(duì)D2進(jìn)行例2中的行的交換就得到范德蒙行列式

39、,于是</p><p>　　Dn+1=D1D2= ... = (-1) </p><p><b>　　= ... .</b></p><p>　　只要熟悉了范德蒙行列式適用的形式和使用技巧,就可以很好地應(yīng)用范德蒙行列式計(jì)算有關(guān)的行列式了。 </p><p>　　可加邊計(jì)算的行列式的結(jié)構(gòu)特征及計(jì)算法</p&

40、gt;<p>　　形如|A+BC|的行列式可用加邊法計(jì)算,其中A是n階可逆對(duì)角矩陣(或次對(duì)角陣),B是n行m列矩陣, C是m行n列矩陣:</p><p>　　(1) 當(dāng)m=1時(shí), 用單加邊法計(jì)算行列式;</p><p>　　(2) 當(dāng)m=2時(shí), 用雙加邊法計(jì)算行列式;</p><p>　　(3) 當(dāng)m=3時(shí), 用三加邊法計(jì)算行列式.</p>

41、<p>　　(4) 推廣:當(dāng)m>3時(shí),用m次加邊法計(jì)算行列式.</p><p>　　(1) 用單加邊法(m=1時(shí))</p><p>　　當(dāng)A 是對(duì)角矩陣時(shí), 設(shè)A=,B=,C=,則行列式|A+BC|可采單位邊加法計(jì)算, 其中a1a2?an≠0.</p><p>　　此時(shí)行列式的一般形式為:</p><p>　　其結(jié)構(gòu)特征為

42、:行列式D的第i行有公因子bi,(主對(duì)角線例外)其第i列中有公因子ci (主對(duì)角線例外),且可分解為A+BC的形式,其中A是可逆對(duì)角矩陣.</p><p><b>　　計(jì)算方法：</b></p><p>　　(2) 用雙加邊法(m=2時(shí))</p><p>　　僅就A是次對(duì)角矩陣時(shí)給出證明,當(dāng)A是對(duì)角矩陣時(shí),可仿照計(jì)算.</p>&

43、lt;p>　　設(shè)，則行列式|A+BC|可采用雙邊加法計(jì)算，其中a1a2?an≠0.</p><p>　　此時(shí)行列式的一般形式為:</p><p>　　其結(jié)構(gòu)特征為:按行觀察行列式D的第i行中每個(gè)元素的第一項(xiàng)中都有公因子bi,第二項(xiàng)中都有公因子di(次對(duì)角線例外);按列觀察, 其第j 列的每個(gè)元素的第一項(xiàng)中有公因子cj,而第二項(xiàng)中都有公因子ej(次對(duì)角線例外),且可以分解為A+BC的形

44、式.</p><p><b>　　計(jì)算方法:</b></p><p>　?。?） 三加邊計(jì)算法(m=3時(shí))</p><p>　　設(shè)則行列式|A+BC|可采用三加邊法計(jì)算.</p><p>　　此時(shí)行列式的一般形式為:</p><p>　　其結(jié)構(gòu)特征為:按行觀察行列式D的第i行的每個(gè)元素的第一項(xiàng)中都

45、有公因子bi,第二項(xiàng)中都有公因子di,第三項(xiàng)中都有公因子ei (主對(duì)角線例外)；按列觀察,其第j 列的每個(gè)元素的第一項(xiàng)中都有公因子cj,第二項(xiàng)中都有公因子fj,第三項(xiàng)中都有公因子gj (主對(duì)角線例外),且可以分解為A+BC的形式.</p><p><b>　　計(jì)算方法:</b></p><p><b>　　+</b></p><

46、;p><b>　?。?）小結(jié)</b></p><p>　　由以上過(guò)程可推知,形如|An×n+Bn×mCm×n|的行列式均可通過(guò)m次加邊法來(lái)計(jì)算,其中A是n階可逆對(duì)角矩陣( 或次對(duì)角陣) . 當(dāng)m=1 時(shí), 采用單加邊法計(jì)算; 當(dāng)m=2 時(shí), 采用雙加邊法計(jì)算; 當(dāng)m=3 時(shí), 采用三加邊法計(jì)算. 當(dāng)m>3 時(shí), 采用m 次加邊法計(jì)算. m≥3 時(shí),

47、計(jì)算量迅速增加, 因此常見(jiàn)題目中m 均取1, 2.</p><p><b>　　用遞歸法計(jì)算行列式</b></p><p>　　所謂遞歸法, 是指把待解決的問(wèn)題, 歸結(jié)到一類與原問(wèn)題性質(zhì)相同的、規(guī)模更小的問(wèn)題中去, 最終求獲原問(wèn)題之解答。</p><p>　　行列式是典型的遞歸結(jié)構(gòu),它可以作如下遞歸定義:</p><p>

48、;　　其中,Ani是元素ani的代數(shù)余子式,1≤i≤n</p><p>　　因此, 高階行列式的計(jì)算總可以歸結(jié)為求其低階子式的計(jì)算,也就是說(shuō)用遞歸法計(jì)算行列式具有一般的方法論意義。用遞歸法解題的一般步驟是:</p><p>　　(1)尋找遞推關(guān)系式;</p><p>　　(2)根據(jù)遞推關(guān)系式,求所需的遞歸邊界條件;</p><p>　　(3)

49、求解遞推關(guān)系,或論證遞推關(guān)系的性質(zhì)。</p><p>　　下面通過(guò)幾個(gè)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。</p><p>　　例1 計(jì)算爪形行列式</p><p><b>　　解　構(gòu)造數(shù)列</b></p><p><b>　　，，…,則</b></p><p>　　重復(fù)利用以上遞推公式,有<

50、;/p><p><b>　　所以</b></p><p>　　計(jì)算Vandermonde 行列式</p><p><b>　　解　構(gòu)造數(shù)列</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　重復(fù)利用以上遞推公式，有</p>&

51、lt;p><b>　　所以</b></p><p>　　用“分拆法、參量法、分解法”計(jì)算行列式</p><p><b>　　（一）分拆法</b></p><p>　　利用行列式相加的性質(zhì), 把行列式分拆為若干個(gè)便于計(jì)算的行列式之和的方法叫分拆法.</p><p><b>　　例1 設(shè)

52、矩陣</b></p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　證明：左式</b></p><p>　　用同樣分拆的方法反復(fù)下去, 最后得:</p><p><b>　　（二）參量法</b></p><p>　　借助于適

53、當(dāng)?shù)剡x取參量, 來(lái)簡(jiǎn)化行列式計(jì)算的方法稱為參量法。</p><p><b>　　例2 計(jì)算行列式</b></p><p><b>　　解:令</b></p><p>　　則由例1( 取) 知</p><p>　　例3 設(shè)為任意整數(shù)，那么，</p><p>　　證明:令，因?yàn)?/p>

54、為任意整數(shù)，，因此。</p><p><b>　　若，那么</b></p><p><b>　　即，矛盾，所以</b></p><p><b>　?。ㄈ?分解法</b></p><p>　　利用矩陣乘積性質(zhì)把行列式分解成若干個(gè)行列式乘積的方法為分解法.也就是, 如果矩陣A 分

55、解為A=A1A2A3?As, 其中Ai 都是n 階方陣( i=1, 2, ?, s) 則|A|=| A1| | A2| | A3|?| As |.</p><p><b>　　例4 計(jì)算行列式</b></p><p><b>　　解： </b></p><p>　　n 階r- 循環(huán)行列式的計(jì)算</p>&

56、lt;p><b>　　（1）．引言</b></p><p>　　n階r- 循環(huán)行列式是一種典型的行列式，它的計(jì)算方法非常巧妙，也很有代表性，研究它的計(jì)算方法，可以提高計(jì)算行列式的能力，也能夠完善行列式的計(jì)算方法.下面給出它的定義：</p><p><b>　　定義形如：</b></p><p>　　的行列式稱為n 階

57、r- 循環(huán)行列式．簡(jiǎn)記為.</p><p>　　(2) n 階r-循環(huán)行列式的計(jì)算公式</p><p>　　定理1 設(shè)n 階方陣A 的特征根為；為任意多項(xiàng)式，則方陣的特征根為</p><p>　　定理2 若D為引言中定義的n 階r- 循環(huán)行列式，則有</p><p><b>　?。?）</b></p>&l

58、t;p>　　其中 為的n個(gè)互不相同的根。</p><p>　　把（1）式稱為n 階r- 循環(huán)行列式的計(jì)算公式，下面簡(jiǎn)稱公式（1）.</p><p>　　下面將用三種方法證明上述定理，這三種方法分別為：析因子法，作輔助行列式法，特征根法.</p><p>　　證法Ⅰ（析因子法）把D的第i列乘以，，加到第一列，得：</p><p><

59、b>　　，此時(shí)，</b></p><p><b>　　利用</b></p><p>　　… … … …</p><p>　　故D必含有因式f(xk),k=1,2,…,n.又每個(gè)f(xk)都是關(guān)于的一次齊次線性式,而其中含有文字的項(xiàng)全為,即的系數(shù)都是1;其中含有文字的項(xiàng)順序?yàn)?這些項(xiàng)的系數(shù)互不相等；故(k=1,2,…,n)

60、各個(gè)線性因子是互素的,從而D應(yīng)有因式，又由于的展開(kāi)式是含的n次齊次式，而D也是含有的n 次齊次式，故</p><p>　　證法Ⅱ（特征根法）令A(yù)為如下n階方陣</p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　假定</b&g

61、t;</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可直接驗(yàn)證有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b&

62、gt;</p><p><b>　　于是</b></p><p>　　由于根據(jù)題意，A的特征根為,由定理1知,</p><p>　　方陣f(A)的特征根為，</p><p><b>　　故</b></p><p>　　公式（1）把n 階r- 循環(huán)行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為了多項(xiàng)式值的

63、計(jì)算,為了得到行列式的具體值,我們還要結(jié)合一些多項(xiàng)式理論進(jìn)行詳細(xì)討論. 公式（1）的兩種證明方法不僅有一定的理論意義，而且還可用來(lái)計(jì)算其它類型的很多行列式；并且公式（1）也可計(jì)算其它類型的行列式，由于篇幅所限，不再論述.</p><p>　　3.6 從一題多解談行列式計(jì)算</p><p>　　例 計(jì)算n 階行列式</p><p><b>　?。ㄒ唬┤切畏?/p>

64、</b></p><p>　　三角形行列式包括上三角形行列式(主對(duì)角線下方的元素全為零的行列式)和下三角形行列式(主對(duì)角線上方的元素全為零的行列式) ,三角形行列式的值等于主對(duì)角線上所有元素的乘積,即：</p><p>　　一些機(jī)構(gòu)較復(fù)雜的行列式經(jīng)過(guò)一系列的初等變換后可以變成三角形行列式。</p><p>　　例題解法一:將各列都加到第一列,并提取公因式

65、,得:</p><p>　　第一列乘以( - a) 分別加到各列上,得:</p><p><b>　　二、拆行(列) 法</b></p><p>　　拆行(列)法(或稱分裂行列式法)就是將所給行列式拆成兩個(gè)或若干個(gè)行列式之和,然后再求行列式的值。拆行(列) 法有兩種情況:一是行列式中有某行(列) 是兩項(xiàng)之和,可直接利用性質(zhì)拆項(xiàng);二是所給行列式中

66、行(列) 沒(méi)有兩項(xiàng)和形式。這時(shí)需作保持行列式之值不變,使其化為兩項(xiàng)和。例題解法二,將Dn 各列每個(gè)元素都寫(xiě)成兩項(xiàng)之和,其中第一項(xiàng)為a ,除主對(duì)角線上元素的第二項(xiàng)為x - 2a外,其余各元素第二項(xiàng)均為0 ,即：</p><p>　　根據(jù)行列式的性質(zhì),這個(gè)行列式可分成2n 個(gè)行列式之和,若某個(gè)行列式有兩個(gè)或兩個(gè)以上的列選自這個(gè)行列式各列的第一項(xiàng),則該行列式至少有兩列相同,其值為0 ,因此,在這2n 個(gè)行列式中除去值為

67、0 的外僅剩下n + 1 個(gè),這n + 1 個(gè)行列式為:各列全選這個(gè)行列式各列的第二項(xiàng)或僅有一列選第一項(xiàng),其它各列都選第二項(xiàng)。所以,這個(gè)行列式化為:</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003：55 -89. </p><p>　　[2] 周宇.淺談行

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