CAGD中等距線及測地線相關(guān)問題的研究.pdf

1、等距線和測地線是計算機輔助幾何設(shè)計中具有重要研究價值的兩類基本曲線.其中,等距線的近似有理表示、逼近誤差估計、低次曲線逼近,以及過測地線的有理曲面、可展曲面設(shè)計和調(diào)控由于直接關(guān)系到幾何設(shè)計系統(tǒng)、工程技術(shù)應(yīng)用、工業(yè)生產(chǎn)加工的功能、質(zhì)量、精度及效率等而成為當前的研究熱點.然而它們迄今未有令人滿意的解決方案.本文圍繞這些問題展開深入研究,建立起一系列方便高效的幾何算法,取得了以下豐富的創(chuàng)新性理論成果： (1)提出一種能夠精確等距圓弧的

2、高精度、高連續(xù)階的等距逼近新算法.基于對現(xiàn)有各種等距逼近算法局限性的深入剖析,提煉出按算法幾何意義、逼近誤差精度、逼近曲線形式、等距常用曲線等原則來評價等距逼近方法優(yōu)劣的一個基本準則；并以此為目標,借助基圓重新參數(shù)化的等距逼近思想,采用獨特的參數(shù)化函數(shù),創(chuàng)造出一種全新的等距逼近算法：無需預(yù)先識別就能精確等距圓弧這類常用曲線,在高精度要求下比現(xiàn)有等距逼近算法產(chǎn)生更少的分段數(shù)和控制頂點數(shù),且將逼近連續(xù)階由一般情況的G1提高到C1;從而一舉克

3、服了現(xiàn)有算法中不能精確等距圓弧、高度依賴于點采樣、全局誤差難以有效控制等種種弊病,特別適合應(yīng)用于幾何設(shè)計系統(tǒng)中,在壓縮數(shù)據(jù)存儲量、提高計算效率、改善曲線整體光滑性效果方面有特別重要的現(xiàn)實意義。 (2)對基于基圓重新參數(shù)化的等距逼近算法進行了透徹的誤差估計.著眼于誤差產(chǎn)生來源,發(fā)現(xiàn)并闡述了基圓重新參數(shù)化等距逼近算法與基圓逼近算法之間的對偶性；揭示出前者的誤差來源于近似等距方向與基曲線法向之間的偏角,并指出近似等距曲線與基曲線上對應(yīng)

4、點之間的距離向量其模長恒為已知等距距離但其方向卻偏離基曲線法向,只有徹底研究偏角的幾何內(nèi)涵及代數(shù)形式才能精確估計等距逼近誤差；基于這種發(fā)現(xiàn),摒棄了常用的對應(yīng)參數(shù)點誤差估計方式,巧用幾何信息,提出并成功地實現(xiàn)了用Hausdorff距離來計算近似等距曲線與精確等距曲線上對應(yīng)點之間誤差的新方法；從而在極大程度上完善了基圓重新參數(shù)化這一等距逼近算法的理論研究,并為該算法和其他各類算法的比較提供了理論依據(jù)。 (3)提出了一種快速實現(xiàn)易于造

5、型、兼容于不同幾何設(shè)計系統(tǒng)的低次等距逼近的新算法.通過改進傳統(tǒng)的向量值Padé逼近方法,結(jié)合曲線細分、中點展開等技術(shù),構(gòu)造出可以達到預(yù)設(shè)精度的任意次的有理等距逼近,從而消除了現(xiàn)有的低次等距逼近算法中大多采用點采樣技術(shù),缺乏穩(wěn)定性且誤差估計不便等局限性；利用線性方程組求解,使得算法敏捷,誤差估計方便,為低次等距幾何逼近提供了一個嶄新工具。 (4)給出了過給定測地線且兼具某些幾何特征的一類參數(shù)曲面的設(shè)計和調(diào)控技術(shù),解決了以往曲面造型

6、中僅有一般設(shè)計原理,無法具體進行曲面表示和調(diào)整的問題,為服裝鞋帽類的變型設(shè)計自動化開辟了一個新途徑.與此同時,鑒于計算機輔助設(shè)計和制造系統(tǒng)對曲面表示和數(shù)據(jù)交換的需要,實現(xiàn)了過給定測地線的有理曲面設(shè)計,給出了常用的三次有理曲面的設(shè)計算法,充分考慮到設(shè)計中調(diào)整曲面形狀的需要,采用變分優(yōu)化技術(shù),便于對曲面直接操作,直觀便捷,且兼顧到曲面造型和光順的需要。 (5)提出了全新的可展曲面設(shè)計思路.基于將曲面看作動曲線上的點沿局部坐標架在空間

7、中運動所得軌跡的觀點,得到了過給定曲線的一張可展曲面的充分必要條件.受鞋衣制造業(yè)的啟發(fā),特別考慮了給定曲線為所求曲面上一條測地線的情況.根據(jù)可展曲而的類型,把給定曲線作相應(yīng)分類,使得算法在工程中的應(yīng)用與實現(xiàn)能夠十分方便而有效.此外,給出了可展曲面的多項式表示,使得算法效率進一步提高。 (6)討論了廣泛應(yīng)用于工程、能精確表示雙曲線、懸鏈線等超越曲線的H-Bezier曲線的奇異點情況.利用活動控制頂點技術(shù),刻劃曲線奇異點與活動控制頂