二維彈性問題快速多極虛邊界元法研究及其若干應(yīng)用.pdf

1、物理、力學以及工程實際問題大多可以從數(shù)學上擬定為數(shù)學物理方程的邊、初值問題。一般而言，一些極簡單的少數(shù)問題可直接采用解析的方法求解，而對于大多數(shù)復(fù)雜的問題通常只能采用數(shù)值的方法求解。相對于有限元法，邊界元法可以降低數(shù)值求解的維數(shù)，因其只需在求解域的邊界上進行網(wǎng)格剖分或離散化；另外，尤其適宜于分析無限域問題，應(yīng)力集中、裂紋擴展及具有復(fù)雜界面形狀的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)問題，……。 虛邊界元法具有邊界元直接法在工程應(yīng)用中所體現(xiàn)的優(yōu)勢，此外，還

2、具有避免奇異積分和不存在邊界層效應(yīng)等優(yōu)點，其思想簡單應(yīng)用方便，且應(yīng)用范圍已涉及到位勢、熱傳導(dǎo)、壓電材料及固體力學中的諸多問題等。然而，與邊界元直接法一樣，對大規(guī)模復(fù)雜問題按傳統(tǒng)手段求解虛邊界元法所形成的線性方程組，不但計算耗時多且儲存量大。近年來隨著快速多極算法的進一步深入研究，其為虛邊界元法實現(xiàn)提高計算效率和減少存儲空間提供了可行的路徑。 本文首先針對二維彈性力學問題的快速多極虛邊界元-等額配點法展開了研究，并提出了相應(yīng)的快速

3、多極展開格式，其使得虛邊界元法求解方程的計算耗時量和儲存量均降至O(N)量級，這不但極大地提高了計算效率且使得計算自由度達百萬以上的問題能夠在普通個人微機上得以實現(xiàn)。換言之，與傳統(tǒng)求解技術(shù)相比較，快速多極虛邊界元-等額配點法在保證求解精度的前提下，能夠在計算速度上有量級的提高，同時在儲存量上有量級的降低。 在上述研究工作的基礎(chǔ)上，本文又針對二維彈性力學問題的快速多極虛邊界元-最小二乘法展開了研究，并提出了一種具有“O(N)量級”

4、的快速多極虛邊界元-最小二乘法的數(shù)值計算格式。由于該算法引入了最小二乘的思想，可以較易實現(xiàn)“過額配點思想”，即實、虛邊界的單元剖分數(shù)或配點數(shù)無需相等，且可根據(jù)求解問題的計算精度要求來靈活劃分虛、實邊界上的單元或直接配點，以獲得更高的計算效率(相對等額配點而言)。 作為快速多極虛邊界元法的上述兩種數(shù)值計算格式的應(yīng)用研究，文中重點模擬分析了二維含大規(guī)模圓孔和圓形夾雜的復(fù)合材料問題，算例中所涉及到的最大計算自由度數(shù)達到了百萬以上；具體

5、研究了復(fù)合材料中基體和夾雜相應(yīng)細觀結(jié)構(gòu)參數(shù)對宏觀有效性能的影響，并將所得到的數(shù)值計算結(jié)果與經(jīng)典細觀力學的近似方法作了相應(yīng)對比，且分析了復(fù)合材料內(nèi)部界面上的應(yīng)力分布。通過應(yīng)用研究，獲得了一些有重要參考價值的結(jié)論；所得表征復(fù)合材料宏觀物理性能的相關(guān)數(shù)據(jù)可以作為復(fù)合材料的參數(shù)預(yù)報?？傊焖俣鄻O算法的引入有效地提高了虛邊界元法的計算效率和求解大規(guī)模復(fù)雜問題的能力，使得虛邊界元法有了更好的發(fā)展空間。 “數(shù)值計算的理論、方法還遠遠沒有完善