大規(guī)模聲學(xué)問(wèn)題的快速多極邊界元方法研究.pdf

1、邊界元方法是一種有效的數(shù)值計(jì)算方法，它伴隨著有限元方法發(fā)展起來(lái)。由于具有只在邊界離散、計(jì)算精度高、適合處理無(wú)限域問(wèn)題等優(yōu)點(diǎn)，邊界元方法被廣泛用于聲學(xué)問(wèn)題研究。然而，邊界元方法形成的線性系統(tǒng)方程組的系數(shù)矩陣通常是稠密、非對(duì)稱滿陣，使用常規(guī)的求解方法將消耗高昂的計(jì)算機(jī)資源，所以傳統(tǒng)的邊界元方法只適合分析中小規(guī)模的聲學(xué)問(wèn)題，無(wú)法求解大規(guī)模問(wèn)題。計(jì)算能力成為制約邊界元方法在大規(guī)模工程領(lǐng)域發(fā)展與應(yīng)用的瓶頸。因此，發(fā)展一種新型的快速邊界元方法求解大

2、規(guī)模聲學(xué)問(wèn)題至關(guān)重要。本文主要是對(duì)快速多極方法和邊界元方法進(jìn)行深入研究，提出一種新型的快速多極邊界元方法有效求解大規(guī)模聲學(xué)問(wèn)題。主要研究?jī)?nèi)容包括：
　　 ⑴針對(duì)傳統(tǒng)邊界元方法求解外部Helmholtz 方程時(shí)存在的非唯一解問(wèn)題，提出了采用Burton-Miller公式解決這個(gè)問(wèn)題。對(duì)于Burton-Miller 公式引入的超奇異及強(qiáng)奇異積分困難，利用新的奇異性減少技術(shù)及Laplace 方程相關(guān)性質(zhì)，推導(dǎo)了只包含完全弱奇異積分的B

3、urton-Miller 公式改進(jìn)形式。此外，提出了一種簡(jiǎn)單有效的塊對(duì)角預(yù)處理技術(shù)改善線性系統(tǒng)方程組的性態(tài)，加速求解的迭代收斂效率。數(shù)值結(jié)果證明了改進(jìn)的邊界元方法求解聲學(xué)問(wèn)題的準(zhǔn)確性和有效性，同時(shí)也揭示出傳統(tǒng)邊界元方法的計(jì)算效率為O(N 2)量級(jí)（N 為問(wèn)題的自由度數(shù)），不適合求解大規(guī)模聲學(xué)問(wèn)題。
　　 ⑵基于改進(jìn)的Burton-Miller 公式，提出了一種新型的快速多極邊界元方法求解大規(guī)模二維（2D）聲學(xué)問(wèn)題。利用多極擴(kuò)展理

4、論，推導(dǎo)了快速多極邊界元方法的計(jì)算公式及數(shù)值程序處理流程。此外，根據(jù)樹(shù)結(jié)構(gòu)葉子結(jié)點(diǎn)的特點(diǎn)，提出了一種有效的稀疏近似求逆預(yù)處理技術(shù)全面提高快速多極邊界元方法的迭代求解效率，并從理論上證明了新算法各求解步驟具有O(N） 量級(jí)的計(jì)算復(fù)雜性。數(shù)值算例驗(yàn)證了快速多極邊界元方法求解2D聲學(xué)問(wèn)題的準(zhǔn)確性和有效性，進(jìn)一步的數(shù)值測(cè)試表明新算法具有O(N） 量級(jí)的計(jì)算效率，比傳統(tǒng)邊界元方法的計(jì)算效率有數(shù)量級(jí)的提高。包含24 萬(wàn)個(gè)自由度的多體聲散射算例有效證

5、明了快速多極邊界元方法可以在個(gè)人計(jì)算機(jī)上快速求解大規(guī)模2D聲學(xué)問(wèn)題，成功克服了傳統(tǒng)邊界元方法不能求解大規(guī)模聲學(xué)問(wèn)題的技術(shù)瓶頸，并且表現(xiàn)出潛在的工程應(yīng)用價(jià)值。
　　 ⑶將2D問(wèn)題延伸到3D（三維）問(wèn)題，基于改進(jìn)的Burton-Miller 公式，提出了一種新型的寬頻快速多極邊界元方法求解大規(guī)模全空間聲學(xué)問(wèn)題。分別利用分波擴(kuò)展方法及平面波擴(kuò)展方法，推導(dǎo)了快速多極邊界元方法的低、高頻問(wèn)題計(jì)算公式，并提出一種可自適應(yīng)實(shí)現(xiàn)求解低、高頻問(wèn)題

6、的寬頻無(wú)縫連接形式。此外，根據(jù)現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)方法，提出了適合寬頻計(jì)算的截?cái)囗?xiàng)數(shù)確定公式。包含52萬(wàn)個(gè)自由度的數(shù)值算例驗(yàn)證了快速多極邊界元方法求解3D 大規(guī)模聲學(xué)問(wèn)題的準(zhǔn)確性、有效性及工程適用性。
　　 ⑷將全空間問(wèn)題延伸到半空間問(wèn)題?；?D全空間算法，提出了一種新型的快速多極邊界元方法求解大規(guī)模半空間聲學(xué)問(wèn)題。利用半空間Green 函數(shù)，推導(dǎo)了半空間快速多極邊界元方法的計(jì)算公式。新的半空間算法只需要在實(shí)域建立樹(shù)結(jié)構(gòu)，而不需要建立包