無界非均勻波導(dǎo)中的模式分析和完美匹配層應(yīng)用.pdf

1、本文主要討論了無界的、橫向折射率分布為漸變的連續(xù)函數(shù)的一類非均勻波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的模式分析，得到了此類波導(dǎo)中的傳播模和泄漏模滿足的色散關(guān)系。同時也就完美匹配層(PML)在無界光波導(dǎo)中的應(yīng)用做了一定的研究，包括PML對非均勻波導(dǎo)的模式分析的影響，以及PML在非線性薛定諤方程的求解中的應(yīng)用等。
　　 光波導(dǎo)結(jié)構(gòu)是由光透明介質(zhì)(如石英玻璃)構(gòu)成的傳輸光頻電磁波的導(dǎo)行結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)上可以用麥克斯韋方程刻畫。模式匹配方法是一種求解此類方程的常用方法

2、。這里所謂的“模式”，就是指無源麥克斯韋方程的解。波導(dǎo)場可以表示為對模式的展開式，每一個模式對應(yīng)一個唯一的傳播常數(shù)，為求得此傳播常數(shù)，需要求解一個Sturm-Liouville算子的特征值問題。無界Sturm-Liouville算子的特征值在模式的含義下可以分為兩類：一類是刻畫沿波導(dǎo)方向傳播的這一部分能量的有限個傳播模，另一類是刻畫被輻射掉那部分能量的輻射模。輻射模的數(shù)量是不可數(shù)的，因而在數(shù)值上，我們往往用可數(shù)個泄漏模的和來近似地表示輻

3、射模的連續(xù)統(tǒng)。
　　 當(dāng)波導(dǎo)的折射率分布為分段常數(shù)時，傳播模和泄漏模的傳播常數(shù)可以通過解一個非線性方程得到，此方程也稱為該波導(dǎo)的色散關(guān)系。本文討論了更一般的情況，即當(dāng)波導(dǎo)的折射率分布為變化的連續(xù)函數(shù)時，利用傳遞矩陣和微分傳遞矩陣技術(shù)，也可以得到關(guān)于傳播模和泄漏模的傳播常數(shù)的色散關(guān)系。雖然所得方程的求解比較困難，但是針對現(xiàn)實中非均勻波導(dǎo)的緩變特性，這里推導(dǎo)出了漸近解公式，可以作為牛頓迭代的初值。通過迭代方法，本文也得到了較高精度的

4、解。
　　 此外由于所討論波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的無界特性，在數(shù)值上需要通過使用完美匹配層技術(shù)來截斷無窮區(qū)間。PML在無界的亥姆霍茲方程和薛定諤方程的求解中都有廣泛的應(yīng)用，可以使用有限的區(qū)間來模擬開波導(dǎo)中的無窮區(qū)間。PML技術(shù)在數(shù)學(xué)上等價于原方程在復(fù)平面上的延拓和截斷?？梢园l(fā)現(xiàn)，開波導(dǎo)經(jīng)PML截斷為有界波導(dǎo)后，其模式分解中除了傳播模和泄漏模外，還有一系列隨PML參數(shù)變化的模式，一般稱作Berenger模或者PML模。在有PML的情況下，也可以

5、利用微分傳遞矩陣方法，得到關(guān)于傳播模、泄漏模和Berenger模的傳播常數(shù)的色散關(guān)系。同樣的，雖然這個色散關(guān)系本身難以求解，但在波導(dǎo)緩變的假設(shè)下，所得到的近似色散關(guān)系可以利用牛頓迭代求解，其中的初值可以使用漸近公式給出。特別地，根據(jù)泄漏模和Berenger模本身不同的特性，我們推導(dǎo)出了各自的漸近公式來作為迭代初值。
　　 在無界的非線性薛定諤方程的求解中，PML也非常有用。在實際計算中，需要將PML內(nèi)部的區(qū)域進(jìn)行數(shù)值離散，隨之會

6、產(chǎn)生一定的數(shù)值反射。本文針對薛定諤方程求解中用到的PML，探討了含PML的計算區(qū)域的離散方法。首先證明了單純地使用等步長的有限差分格式在PML內(nèi)部進(jìn)行加密是不可行的，因為這樣會引起虛假的數(shù)值反射。我們推導(dǎo)出了虛假反射和PML內(nèi)外的離散步長差之間的關(guān)系，并且根據(jù)這個關(guān)系提出了離散的改進(jìn)技術(shù)。這種改進(jìn)技術(shù)基于利用坐標(biāo)變換逐漸地向PML內(nèi)轉(zhuǎn)移差分離散點(diǎn)，可以有效地減小因PML的離散而產(chǎn)生的誤差，并且不產(chǎn)生明顯的虛假反射。這種離散改進(jìn)技術(shù)可以很