非均勻系統(tǒng)中孤子的演化和控制.pdf

1、非線(xiàn)性現(xiàn)象在生活中非常普遍,它廣泛地出現(xiàn)在非線(xiàn)性光學(xué)、玻色一愛(ài)因斯坦凝聚(BEC)、光子學(xué)、半導(dǎo)體電子學(xué)、等離子體、生物學(xué)、熱傳導(dǎo)、液晶等領(lǐng)域。人們一般用一些非線(xiàn)性偏微分方程來(lái)描述這些非線(xiàn)性系統(tǒng),而方程的解則稱(chēng)之為孤子。從物理學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看,孤子是物質(zhì)非線(xiàn)性效應(yīng)和色散效應(yīng)達(dá)到某種平衡時(shí)的一種特殊產(chǎn)物；從數(shù)學(xué)上看,它是某些非線(xiàn)性偏微分方程的一類(lèi)穩(wěn)定的、能量有限的不彌散解。即是說(shuō),它能始終保持其波形和速度不變。孤子在互相碰撞后,仍能保持各自的

2、形狀和速度不變,好像粒子一樣,故人們又把它稱(chēng)為孤立波。
　　 非線(xiàn)性系統(tǒng)主要可分為均勻的和非均勻的,對(duì)于均勻非線(xiàn)性系統(tǒng),描述它的非線(xiàn)性方程一般是常系數(shù)的,這種類(lèi)型方程的孤子解是比較容易找到的,其解的形式也相對(duì)簡(jiǎn)單.對(duì)于常系數(shù)的非線(xiàn)性方程,其孤子解的傳播波形不依賴(lài)于任何可控參量,只是關(guān)于坐標(biāo)或時(shí)間的函數(shù),這使得孤子的傳播演化波形無(wú)法調(diào)節(jié),而實(shí)際上,人們往往要求得到的是一些可以控制和調(diào)節(jié)的孤子波形.在試驗(yàn)上,也不可能使外界的環(huán)境一成

3、不變,總有一些干擾孤子演化的因素存在,從而很難得到穩(wěn)定的孤子波形,這就使我們轉(zhuǎn)而關(guān)注變系數(shù)的非線(xiàn)性系統(tǒng)。在非均勻非線(xiàn)性系統(tǒng)中,描述它的非線(xiàn)性方程一般是變系數(shù)的,這種類(lèi)型方程的各項(xiàng)系數(shù)一般是關(guān)于坐標(biāo)或時(shí)間或者空間的函數(shù),有時(shí)方程還包括外勢(shì).在這種情況下,方程一般是不可積的,因此,我們?cè)趯ふ曳匠痰墓伦咏庵?應(yīng)先找出方程的可積性條件.在可積性條件下,我們可以運(yùn)用反演散射法,Backlund變換,雙線(xiàn)性方法以及一些相似變換方法來(lái)尋求方的孤子解

4、.這時(shí),方程的解中一般包括方程的變系數(shù)(或通過(guò)別的可變參量和方程的變系數(shù)相聯(lián)系),孤子解的傳播波形也隨著方程的可變系數(shù)而變化,這樣,我們就可以通過(guò)調(diào)節(jié)方程的可變系數(shù)來(lái)控制孤子的演化波形,從而得到我們想要的孤子波形,再將這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)用于具體的物理領(lǐng)域中。在這些非線(xiàn)性方程中,研究的比較多的是非線(xiàn)性Schrodinger方程,本課題中,我們將應(yīng)用相似變換的方法求解一類(lèi)變系數(shù)非線(xiàn)性Schrodinger方程,以期得到一些方程的精確解和解析解,

5、進(jìn)而研究解的性質(zhì).本論文研究?jī)?nèi)容包括:
　　 (1)研究一維空間不均勻非線(xiàn)性Schrodinger方程的精確解。通過(guò)運(yùn)用修正的CK直接法,我們構(gòu)造了大量的關(guān)于一維空間不均勻非線(xiàn)性Schrodinger方程的精確解。首先運(yùn)用修正的CK直接法將非線(xiàn)性Schrodinger方程約化為常微分方程,同時(shí)得到一個(gè)外勢(shì)和約化參量之間的關(guān)系式；然后通過(guò)對(duì)約化參量取不同的函數(shù),得到不同的有研究意義外勢(shì)；最后在考慮外勢(shì)和常微分方程解的情況下得出非線(xiàn)

6、性Schrodinger方程的精確解。
　　 (2)研究廣義非自治高次非線(xiàn)性Schrodinger方程的解析解。通過(guò)運(yùn)用相似約化的方法,我們構(gòu)造了大量的關(guān)于廣義非自治高次非線(xiàn)性Schrodinger方程的解析解。首先運(yùn)用相似約化方法將廣義非自治高次非線(xiàn)性Schrodinger方程化為標(biāo)準(zhǔn)的非線(xiàn)性Schrodinger方程,同時(shí)得到方程存在解析解的可積性條件；然后考慮在沒(méi)有外勢(shì)和幾種較典型外勢(shì)情形下方程的解析解。我們討論了空間二次

7、勢(shì),晶格勢(shì),吸引-排斥勢(shì)等一些較有意義的外勢(shì),并得出了周期孤立波解,衰減孤立波解,晶格孤立波解以及一些有意思的解析解。最后,我們討論了這些解的一些性質(zhì),如孤立波的寬度,速度,振幅的,并研究了一些可變的可控參量在解中所起的作用,從而達(dá)到控制孤立波傳播的目的。
　　 (3)研究孤子在Fourier-Synthesized晶格勢(shì)中的演化和碰撞的性質(zhì)。我們研究廣義非自治非線(xiàn)性Schrodinger方程在其外勢(shì)為Fourier-synth