低差分一致性函數(shù)與Bent函數(shù)的構(gòu)造及其在編碼中的應(yīng)用.pdf

1、低差分一致性函數(shù)和Bent函數(shù)在密碼學(xué)（分組密碼和流密碼設(shè)計(jì)）、編碼理論（Reed-Muller碼和二重碼）、結(jié)合方案、序列設(shè)計(jì)、圖論（強(qiáng)正則圖）、組合設(shè)計(jì)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.本文主要對(duì)置換多項(xiàng)式構(gòu)造、差分4一致置換函數(shù)構(gòu)造、APN函數(shù)構(gòu)造、Bent函數(shù)構(gòu)造和這兩類函數(shù)在構(gòu)造線性碼中的應(yīng)用等幾個(gè)方面進(jìn)行了研究.
　　基于Dobbertin提出的方法，利用指數(shù)和的性質(zhì)，研究了有限域IF32m上的兩類形如v-1x3m+2和v-1x2

2、-3m+3完全置換單項(xiàng)式的構(gòu)造.有趣的是，第二類完全置換多項(xiàng)式v-1x2-3m+3和Dickson多項(xiàng)式密切相關(guān).基于萬大慶教授的一個(gè)重要結(jié)果，我們構(gòu)造了奇特征域IFp2m上的第三類完全置換多項(xiàng)式v-1xs(pm-1)+1.同時(shí)，我們確定了這三類完全置換多項(xiàng)式的復(fù)合逆.推廣了Tu等人關(guān)于形如(1)(xpm-x+δ)t(pm±1)+1+L(x)置換多項(xiàng)式的構(gòu)造，得到了幾類具有新指數(shù)的這種置換多項(xiàng)式，新構(gòu)造的置換多項(xiàng)式具有更靈活的參數(shù)t.<

3、br>　　基于交織技術(shù)，研究了偶特征域上差分4一致置換函數(shù)和奇特征域上APN函數(shù)的構(gòu)造.以現(xiàn)有的APN函數(shù)為基礎(chǔ)，利用Gold型APN函數(shù)，得到了兩類新的差分4一致分段函數(shù)；以現(xiàn)有的PN函數(shù)為基礎(chǔ)，利用Gold型PN函數(shù)，構(gòu)造了兩類新的奇特征域上的APN函數(shù).通過確定有限域上某些方程的解數(shù)，得到了奇特征域上兩個(gè)低差分一致性置換函數(shù).
　　2015年，Mesnager利用布爾函數(shù)的差分函數(shù)，證明了某些Bent函數(shù)添加兩個(gè)線性函數(shù)乘積

4、仍然是Bent函數(shù)的結(jié)論.本文繼續(xù)Mesnager的工作，以Walsh譜理論為主要工具，研究Bent函數(shù)添加多個(gè)線性函數(shù)乘積得到的新函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造更多的Bent函數(shù)、Near-bent函數(shù)、Semi-bent函數(shù)等Plateaued函數(shù).本文研究表明，通過在某些Bent函數(shù)添加兩個(gè)線性函數(shù)這種方法不但可以得到新的Bent函數(shù)，而且可以獲得新的Near-bent函數(shù)、Semi-bent函數(shù)等具有低Walsh譜的函數(shù).
　　建立了P

5、N函數(shù)、APN函數(shù)和最優(yōu)循環(huán)碼的聯(lián)系.我們利用PN函數(shù)和逆函數(shù)構(gòu)造了參數(shù)為[pm-1,pm-2m-2,4]p元優(yōu)循環(huán)碼；根據(jù)e的奇偶性，確定了5元循環(huán)碼碼С(1,e)的最小距離是2或3.為了得到5元優(yōu)的循環(huán)碼，我們研究了碼С(1,e)的一類子碼С(0,1,e)，利用IF5m上的PN函數(shù)和APN函數(shù)以及其他的單項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造了參數(shù)為[5m-1,5m-2m-2,4]5元優(yōu)循環(huán)碼.
　　最后，論文研究了具有低Walsh譜函數(shù)在構(gòu)造線性碼中