含Riesz（-Feller）位勢(shì)算子的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的基本解與數(shù)值解.pdf

1、早在17世紀(jì)末整數(shù)階微積分還處于發(fā)展時(shí)期，Leibniz和L’Hospital就曾以書信的方式探討過分?jǐn)?shù)階微積分和簡單的分?jǐn)?shù)階微分方程.但初期由于分?jǐn)?shù)階算子沒有物理、力學(xué)背景的支持，又與經(jīng)典的Newton整數(shù)階體系相左，故發(fā)展極其緩慢.直到20世紀(jì)，許多學(xué)者發(fā)現(xiàn)FC和FDE在分形動(dòng)力學(xué)、擴(kuò)散和輸運(yùn)、物種傳播與繁衍、混沌與湍流、隨機(jī)游走、金融、隨機(jī)過程、粘彈性力學(xué)及非牛頓流體力學(xué)等諸多領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分和微分方程才得到迅速

2、的發(fā)展，目前已成為當(dāng)前國際上的-個(gè)熱點(diǎn)研究課題. Podlubny總結(jié)道“只有在同時(shí)使用左側(cè)導(dǎo)數(shù)和右側(cè)導(dǎo)數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分方程的理論尤其是分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題才能得到較好的發(fā)展”。故本文所考慮的方程的空間導(dǎo)數(shù)均是Riesz位勢(shì)算子或Riesz-Feller位勢(shì)算子，即含有雙側(cè)的Riemann-LiouviUe(R-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù). 本文第一章首先簡要介紹了分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展歷程和前人的工作，其次給出目前常用的幾種分?jǐn)?shù)階

3、算子的定義、性質(zhì)及這些算子之間的關(guān)系. 第二章我們分別考慮了空間Riesz分?jǐn)?shù)階偏微分方程和時(shí)間-空間Riesz分?jǐn)?shù)階偏微分方程的基本解.在假設(shè)函數(shù)關(guān)于空間變量具有周期性的前提下，利用Fourier級(jí)數(shù)展開及Laplace積分變換求解這兩類方程的Cauchy問題，得到可顯式表示成級(jí)數(shù)形式的基本解，從而易于近似計(jì)算. 把古典擴(kuò)散方程中關(guān)于空間變量的二階導(dǎo)數(shù)用α∈(0，2](α≠1)階且含偏斜度θ (|θ |≤min{α，2

4、-α}的Riesz-Feller位勢(shì)算子代替就得到空間分?jǐn)?shù)階Lévy-Feller擴(kuò)散方程(SFLFDE).本文第三章分別從概率和數(shù)值近似計(jì)算的角度研究了SFLFDE.首先對(duì)于無限區(qū)間上SFLFDE的柯西問題我們分別就0<α<1和1<α≤2情形利用數(shù)值積分構(gòu)造了兩個(gè)差分離散格式，證明了此二離散格式可用于模擬隨機(jī)游走模型，進(jìn)一步地給出了與Lévy-Feller擴(kuò)散對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定Lédvy分布的吸收域問題.其次，從實(shí)際應(yīng)用的角度考慮了在有限區(qū)間

5、上SFLFDE的初邊值問題的數(shù)值逼近，構(gòu)造了-個(gè)條件穩(wěn)定和收斂的顯式差分離散格式.最后給出一個(gè)數(shù)值例子說明上述離散格式的計(jì)算有效性和數(shù)值分析的準(zhǔn)確性. 第四章討論了含非線性源項(xiàng)的空間Riesz分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值近似.借助于R-L分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Grünwald-Letnikov(G-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的等價(jià)性，我們利用移位G-L技巧對(duì)Riesz位勢(shì)算子進(jìn)行離散.此外，再利用向后差商近似時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到一個(gè)隱式有限差分離散格式.進(jìn)一步在假

6、設(shè)非線性源項(xiàng)滿足Lipschitz條件的情形下，證明了該格式是無條件穩(wěn)定和收斂的.最后給出兩個(gè)數(shù)值例子，并用分?jǐn)?shù)階行方法(MOL)與之比較，所得的數(shù)值結(jié)果與理論分析是非常吻合的. 用有限差分技巧(即數(shù)值積分技巧或移位G-L技巧)離散分?jǐn)?shù)階偏微分方程時(shí)，對(duì)于R-L導(dǎo)數(shù)算子的數(shù)值近似的收斂階都不超過一階，故尋求高階收斂的數(shù)值離散格式是非常必要的.第五章我們采用兩種數(shù)值方法：有限差分法和Galerkin有限元法數(shù)值逼近空間Riesz分

7、數(shù)階對(duì)流.擴(kuò)散方程。首先利用數(shù)值積分技巧離散Riesz位勢(shì)算子、向后差商近似時(shí)間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造了一個(gè)隱式有限差分離散格式，證明了該格式是無條件穩(wěn)定和收斂的，但遺憾的是該數(shù)值格式關(guān)于空間變量的收斂階小于一階.為了得到更高收斂階的數(shù)值離散格式，進(jìn)而采用Galerkin有限元法對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值近似.把方程變成等價(jià)的弱形式，證明了該弱形式的解是存在唯一的.進(jìn)一步地，借助于向后差商近似時(shí)間導(dǎo)數(shù)、Galerkin有限元逼近空間Riesz導(dǎo)數(shù)，得到-個(gè)隱式