二階矩陣微分系統(tǒng)的振動性研究.pdf

1、矩陣微分系統(tǒng)理論是微分方程理論中的一個十分重要的分支，它具有深刻的物理背景和數(shù)學模型，近年來，這一理論在應用數(shù)學領(lǐng)域中已取得了迅速的發(fā)展和廣泛的重視．振動性理論是矩陣微分系統(tǒng)理論中的一個十分重要的研究方向，有大批學者從事這方面的理論研究，并取得了一系列較好的結(jié)果．特別是近幾十年，矩陣微分系統(tǒng)解的振動性研究發(fā)展得相當迅速，其中以二階矩陣微分系統(tǒng)最受人們的關(guān)注，因此也被研究得比較深入和廣泛(部分結(jié)果可參見文[1]-[33])． 本文

2、利用推廣的Riccati變換及積分平均方法及矩陣不等式，對幾類二階矩陣微分系統(tǒng)進行了進一步的研究，得到了一些新的成果． 根據(jù)內(nèi)容本文分為以下三章： 第一章概述本論文研究的主要問題第二章在這一章中，我們分兩節(jié)研究了具有阻尼項的二階線性矩陣微分系統(tǒng)(P(t)Y')'+．R(t)Y'+Q(t)Y=0,t≥t0,(2.1.1)的振動性．其中P(t)，R(t)，Q(t)和y(t)為n×n階實連續(xù)矩陣函數(shù)，且P(t)是正定的,R(t

3、)，Q(t)是對稱的，t≥t0. 在第一節(jié)中，主要通過引入正線性泛函g并利用Riccati變換和積分平均方法建立了系統(tǒng)(2.1.1)的一些新的區(qū)間振動準則，這些準則的優(yōu)越性在于它們僅依賴于P(t)，R(t)，Q(t)在[t0,∞)的某一列子區(qū)間上的積分性質(zhì)．特別地，通過選取適當?shù)恼€性泛函g和平均函數(shù)，可以得到一系列新的精確的振動準則．因此本節(jié)的主要結(jié)論推廣和改進了一系列已有的結(jié)論，豐富了現(xiàn)有的Kamenev類型的振動準則．

4、 在第二節(jié)中，主要通過利用比較定理建立了系統(tǒng)(2.1.1)的振動性與一個二階線性純量方程的振動性之間的聯(lián)系，即對系統(tǒng)(2.1.1)振動性的判定可轉(zhuǎn)化為對某個二階線性純量方程振動性的判定．因此本節(jié)的主要結(jié)論說明已有的關(guān)于二階線性純量方程的振動性判據(jù)都可以用來判定系統(tǒng)(2.1.1)的振動性． 第三章在這一章中，我們分兩節(jié)研究了兩類二階非線性矩陣微分系統(tǒng)的振動性．其主要結(jié)果如下： 第一節(jié)考慮具有阻尼項的二階非線性矩陣微分系

5、統(tǒng)(P(t)Y')'+R(t)Y'+F(Y)=0，t≥t0,(3.1.1)其中P(t)，Y(t)和F(Y)為n×n階實連續(xù)矩陣函數(shù)，R(t)為n×n階實連續(xù)可微矩陣函數(shù)，且P(t)是正定的，R(t)是對稱的，t≥t0. 本節(jié)的主要目的是利用廣義Riccati變換，考慮H(t，s)k(s)型的函數(shù)(它對s的偏導數(shù)不一定非正)，得到了關(guān)于系統(tǒng)(3.1.1)的一些新的振動性準則．這些準則改進并推廣了文[9]及其它一些已知的結(jié)果．

6、 第二節(jié)考慮一類二階非線性矩陣微分系統(tǒng)(P(t)Y')'+R(t)G(Y)Y'+Q(t)F(Y')Y=0,t≥t0，(3.2.1)其中P(t)，R(t)，Q(t)，Y(t)，G(Y)和F(Y')為n×n階實連續(xù)矩陣函數(shù)，且P(t)是正定的，R(t)和Q(t)是對稱的，t≥t0. 本節(jié)的主要目的是通過積分平均方法和定義新的預備解，得到了關(guān)于系統(tǒng)(3.2.1)的一些新的振動性準則．這些準則推廣了文[12]的結(jié)果．特別地，本文還給出