幾類(lèi)二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性[開(kāi)題報(bào)告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　幾類(lèi)二階微分系統(tǒng)解的有界性和收斂性 </p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）</p><p>　　常微分方程有界性的研究

2、是常微分方程定性理論中的一個(gè)十分重要的研究?jī)?nèi)容,它具有深刻的物理背景和數(shù)學(xué)模型．近年來(lái),這一研究主題在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中已取得了迅速的發(fā)展和廣泛的重視. 一方面,它有著廣泛的實(shí)際背景,另一方面,有著重要的理論價(jià)值.在研究微分方程定性理論中，二階微分方程解的有界性是一個(gè)重要話(huà)題.在具體的生產(chǎn)實(shí)踐的過(guò)程中，有許多具體的工程技術(shù)的問(wèn)題都可以歸結(jié)為二階微分方程.因此,有關(guān)二階微分方程的定性與穩(wěn)定性研究在最近幾十年里已經(jīng)引起了人們的廣泛興趣.其中許多

3、具體二階微分方程定性與穩(wěn)定性的研究都是從研究其解的有界性開(kāi)始的，因此二階微分方程解的有界性研究就是一個(gè)引起眾多數(shù)學(xué)家和其他科學(xué)家研究的廣泛課題. 近年來(lái),國(guó)內(nèi)外已有大批學(xué)者從事這方面的理論研究,取得了一系列較好的結(jié)果.對(duì)生產(chǎn)生活和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展起到了直接或間接的推動(dòng)作用，因此，對(duì)二階微分方程解的有界性的研究意義重大.</p><p>　　常微分方程在19世紀(jì)發(fā)展迅速，并誕生了一系列具有重大意義的研究理論．19世紀(jì)

4、末，由龐加萊創(chuàng)立的常微分方程實(shí)域定性瀆論便是其中最重要的理論成果之一．從常微分方程產(chǎn)生到1820年，常微分方程理論的唯一問(wèn)題是：找到給定微分方程的解析解．然而隨著研究的擴(kuò)展和深入，人們遺憾地發(fā)現(xiàn)可以解析求解的常微分方程類(lèi)型甚少．1836年，施圖姆的論文從新的定性角度研究二階線(xiàn)性微分方程．隨后，他與劉維爾合作開(kāi)創(chuàng)了分析中一個(gè)新的分支施圖姆-劉維爾理論，其特征是：當(dāng)找不到解的任何可行表達(dá)時(shí)，直接從方程本身尋找答案，這時(shí)，由方程決定的性質(zhì)必然

5、是定性的．這種思想與代數(shù)方程領(lǐng)域中阿貝爾、伽羅瓦由尋求根式解轉(zhuǎn)到研究解的存在和性質(zhì)的思想是平行發(fā)展的．施圖姆-劉維爾理論可看作常微分方程定性理論的早期萌芽．</p><p>　　近年來(lái)，由于二階微分方程具有廣泛的應(yīng)用背景，同時(shí)隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，二階微分方程的模型也越來(lái)越豐富，國(guó)內(nèi)外各個(gè)大學(xué)和科學(xué)研究所的學(xué)者專(zhuān)家對(duì)二階微分方程解的研究都取得了喜人的成果，并且總結(jié)出了一套相對(duì)完整的理論，主要成果包括二階微分方程

6、解的性質(zhì)（見(jiàn)文獻(xiàn)1-6），二階微分方程的幾種解法（見(jiàn)文獻(xiàn)7-10），二階微分方程解的有界性的判定定理及其條件（見(jiàn)文獻(xiàn)11-15）. </p><p>　　本學(xué)位論文希望利用大學(xué)本科所學(xué)常微分方程知識(shí)來(lái)對(duì)上述問(wèn)題做一些簡(jiǎn)單的總結(jié)和探討，希望尋求出有關(guān)二階微分方程解的有界性和收斂性的新結(jié)果，希望將所獲得的理論結(jié)果結(jié)合具體的二階微分方程的模型進(jìn)行應(yīng)用，并希望改進(jìn)推廣已有文獻(xiàn)的一些結(jié)果. </p><

7、;p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題</p><p>　　我們希望進(jìn)一步研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并將理論模型結(jié)合實(shí)際模型，總結(jié)一些二階微分方程解的有界性地判定方法和二階微分系統(tǒng)軌線(xiàn)收斂性問(wèn)題，分析二階微分方程解的有界性和收斂性的條件，并領(lǐng)會(huì)二階微分方程解的有界性和收斂性在數(shù)學(xué)中的地位以及具體生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用和學(xué)會(huì)證明二階微分方程解的有界性和收斂性的數(shù)學(xué)分析方法，總結(jié)并證明一些在研究中常

8、常碰到的問(wèn)題，主要包括對(duì)如下一些重要問(wèn)題的研究．</p><p>　　問(wèn)題1．研究一般Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　解的有界性,并能獲得系統(tǒng)(１)存在無(wú)界解的充分條件,并可以結(jié)合具體的實(shí)例對(duì)所獲結(jié)果進(jìn)行應(yīng)用，希望所取得的結(jié)果改進(jìn)和擴(kuò)展已有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果。</p>

9、<p>　　問(wèn)題２．研究廣義Liénard系統(tǒng)：</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　存在最終正解和最終負(fù)解的新充分條件，希望所獲結(jié)果改進(jìn)和擴(kuò)展已有文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果．</p><p>　　問(wèn)題3．研究一類(lèi)二階非線(xiàn)性微分系統(tǒng)</p><p>　　（3）的解的漸近性態(tài).在系統(tǒng)具有

10、適當(dāng)保證所有解有界的條件成立時(shí)，能夠證明其每個(gè)解收斂于奇點(diǎn).希望所獲結(jié)果改進(jìn)和推廣文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)論．</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線(xiàn)、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p>　　本人在閱讀了大量中文文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)了自己綜合分析的能力，并查閱了多本關(guān)于此課題的著作和相關(guān)期刊，特別是由許多學(xué)者們對(duì)二階微分方程解的有界性和收斂性的研究所得的理論對(duì)我的研究提供了很大的幫助，在此

11、基礎(chǔ)上我深入理解二階微分方程解的有界性和收斂性的定理，研究這個(gè)課題的重要性以及實(shí)用性，并且運(yùn)用所學(xué)知識(shí)有效地對(duì)此進(jìn)行總結(jié)研究，再通過(guò)對(duì)比、分析、歸納已有的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)進(jìn)一步思考，提出了自己的一些結(jié)論，并對(duì)此進(jìn)行證明，課題的主要內(nèi)容是研究二階微分方程解的有界性和收斂性，并得出系統(tǒng)（1）存在無(wú)界解的充分條件以及系統(tǒng)（2）存在無(wú)界解的兩個(gè)充分條件和所有解正向有界的充分條件和充要條件，還有二階微分系統(tǒng)（3）的軌線(xiàn)收斂性，并希望得到一些

12、新的判別這類(lèi)二階微分系統(tǒng)軌線(xiàn)收斂性的判別法則．</p><p>　　研究方法和技術(shù)路線(xiàn)主要是通過(guò)在收集整理已有文獻(xiàn)的結(jié)論的基礎(chǔ)上，充分運(yùn)用大學(xué)本科階段所學(xué)的《常微分方程》及其相關(guān)課程的理論知識(shí)，總結(jié)其結(jié)論的發(fā)展過(guò)程，通過(guò)研究?jī)深?lèi)具體的二階非線(xiàn)性泛函微分方程解的有界性，推廣并改進(jìn)已有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果．最后預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)是通過(guò)假設(shè)推得方程解的有界性，得到一些新的判別這類(lèi)二階微分系統(tǒng)軌線(xiàn)收斂性的判別法則.</p&

13、gt;<p>　　四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排</p><p>　　（一） 第七學(xué)期第9-10周：確定論文題目；開(kāi)始查閱文獻(xiàn)資料，收集各種紙質(zhì)、電子文件信息、材料并對(duì)其進(jìn)行加工整理，形成系統(tǒng)材料；確定外文翻譯資料； （二） 第七學(xué)期第11-12周：仔細(xì)研讀，分析資料，完成外文翻譯； （三） 第七學(xué)期第13-17周：認(rèn)真閱讀文獻(xiàn)資料，加以歸納總結(jié)，完成文獻(xiàn)綜述及開(kāi)題報(bào)告；  （

14、四） 第七學(xué)期第18周：并完成網(wǎng)上確認(rèn)；  （五） 寒假期間：完成論文初稿； （六） 第八學(xué)期第1-3周：修改論文初稿，并確定進(jìn)入實(shí)習(xí)階段； （七） 第八學(xué)期第4-10周：進(jìn)入實(shí)習(xí)單位進(jìn)行畢業(yè)實(shí)習(xí)，對(duì)論文進(jìn)行修改。 （八） 第八學(xué)期第11周：完成畢業(yè)實(shí)習(xí)返校，并遞交畢業(yè)實(shí)習(xí)報(bào)告； （九） 第八學(xué)期第12-14周：對(duì)論文進(jìn)一步修改，并定稿； （十） 第八學(xué)期第15-16周：準(zhǔn)備并完成畢業(yè)答辯． </p

15、><p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 王高雄,周之銘,朱思銘等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1978.</p><p>　　[2] 劉炳文,楊偉,馬軍.一類(lèi)二階微分系統(tǒng)的解的收斂性[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2002,25(1):7～10.</p><p>　　[

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