量子測量及保嚴(yán)格凸組合和純態(tài)的映射.pdf

1、令S(H)是復(fù)Hilbert空間H上所有態(tài)（即，跡是1的正算子）構(gòu)成的凸集，2≤dimH＜∞．本文證明了映射ψ∶S(H)→S(K)保純態(tài)和嚴(yán)格凸組合（即，ψ把純態(tài)映為純態(tài)，且對任意的ρ1，ρ2和0＜t＜1，存在0＜s＜1使得ψ（tρ1+（1-t）ρ2)=sψ(ρ1)+（1-s）ψ(ρ2))當(dāng)且僅當(dāng)ψ有下列形式之一:(1)存在σ0∈Pur(K)使得對任意的ρ∈S(H)都有ψ(ρ)=σ0;(2)存在相異的Q1，Q2∈Pur(K)使得ψ（Pu

2、r（H））={Q1，Q2};(3)存在單射線性或共軛線性算子M∶H→K使得ψ(ρ)=MρM*/Tr(MρM*)對所有的ρ∈S(H)都成立.
　　 對于兩體系統(tǒng)，本文給出保持可分純態(tài)和嚴(yán)格凸組合的映射的結(jié)構(gòu)定理．盡管有更復(fù)雜的表達(dá)，類似的結(jié)構(gòu)定理對多體系統(tǒng)也是成立.令ψ∶Ssep(H1（×）H2（×）…（×）Hn)→Ssep(K1（×）K2（×）…（×）Kn)是一個(gè)映射，2≤dimHi＜∞，i=1，2，…，n.利用結(jié)構(gòu)定理可證:如

3、果ψ保嚴(yán)格凸組合且保純態(tài)可分性，那么
　　 (1)如果ψ的值域不共線或者是單點(diǎn)集，則ψ將乘積態(tài)映為乘積態(tài).
　　 (2)如果ψ的值域不共線且包含一個(gè)態(tài)σ，滿足對每個(gè)i=1，2,…，n，Tri（σ）都是秩≥2的，則存在(1，…，n)的一個(gè)置換π∶(1，…，n)(→)(π(1)，…，π（n））和單射線性或共軛線性（可能不同步）算子Mj∶Hπ（j）→Kj，j=1，…，n，使得ψ(ρ)=（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（

4、M*1（×）…（×）M*n）/Tr（（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（M*1（×）…（×）M*n）)對所有的ρ∈Ssep(H1（×）…（×）Hn)都成立．這里（Ο）π∶Bsa(H1（×）H2（×）…（×）Hn)→Bsa(Hπ(1)（×）Hπ(2)（×）…（×）Hπ(n))是一個(gè)線性映射，滿足（Ο）π（(A)1（×）(A)2（×）…（×）(A)n）=(A)π(1)（×）(A)π(2)（×）…（×）(A)π(n).顯然dim Hπ(

5、j)≤dim Kj.
　　 本文還證明了，如果ψ∶Ssep(H1（×）H2（×）…（×）Hn)→Ssep(K1（×）K2（×）…（×）Kn)是一個(gè)雙射，則ψ保嚴(yán)格凸組合當(dāng)且僅當(dāng)存在(1，2，…，n)的置換π和可逆線性或共軛線性（可能不同步）算子Mj∶Hπ(j）→Kj，j=1，…，n，使得ψ(ρ)=（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（M*1（×）…（×）M*n）/Tr（（M1（×）…（×）Mn）（Ο）π(ρ)（M*1（×）…