關(guān)于Bell多項式和GSN的若干問題.pdf

1、人連理T大學碩士論文摘要``(JamesStirling于，73。年首先提出了Stirli、數(shù)對的概念，Thiele和Nielsen(1904)正式運用T這一名稱。第一類Stirling數(shù)s(nk)和第二類Stirling數(shù)“(nk，是“，，多項式的特殊形式。)在這篇論文中，我們討論了Bell多項式中的遞歸關(guān)系和同余問題，給出了廣義Stirling數(shù)對(GSN對)的一類遞歸關(guān)系式，提出了擴展的GSN對G(nklwu)和G(nkluw)的

2、概念，統(tǒng)一了二項式系數(shù)、高斯系數(shù)和Stirling數(shù)，并利用模型對G(nklw0)和G(nkl0w)進行了組合解釋。最后，討論了當，或k取負值時，G認川wu)的一些性質(zhì)及組合解釋?？偟恼f來，本篇論文嘗試著將GSN對進行了更廣意義的推廣并進行了組合意義方面的探討。關(guān)鍵詞Bell多項式Stirling數(shù)對GSN對GSN對，~帕，人連理工大學碩士論文前啟前言JamesStirling于1730年在MethodusDiferentialis中首

3、次提出7Stirling數(shù)的概念，而這一名稱的正式運用則要歸功于Thiele和Nielsen(1904).Stirling數(shù)對是指由(x)=Ys(nk)xkn‘0x“=藝S(nk)(x)kIn‘0(1)所定義的系數(shù)s(nk)和S(nk)，它們分別被稱為第一類Stirling數(shù)和第二類Stirling數(shù)，這一符號的最初使用者是Riordan(1958).Bell多項式是有無限多變元XIx2由雙重形式幕級數(shù)展開式定義的多項式凡二民k(xlX

4、Z，xnk.1):，=dD(tu，一城U藝xm藝B.一uk碩乏七n!、、les.j尸瀏=1Lj1Bk(x1XZ21n!k=I二斗(2)令人注目的是如此簡單的形式所定義的Stirling數(shù)和Bell多項式在組合學中有著廣泛的應用。在Bell(1934)Carlitz(1961196219641966)Frucht(19651966)Frucht和Rota(1965)Kauchy(1965)等的文章中，對Bell多項式進行了討論，得出了一些

5、有用的恒等式，并將Bell多項式應用于FaadiBrun。公式，即形式級數(shù)的逐次求導問題。對于Stirling數(shù)對的研究也有很大進展，人們發(fā)現(xiàn)，Stirling數(shù)對不僅有許多好的性質(zhì)，如“三角”遞推關(guān)系，“垂直”遞推關(guān)系，“水平”遞推關(guān)系，同余性質(zhì)等，而且還可以用組合的方法對這些性質(zhì)進行討論，這就為Stirling數(shù)對的應用開拓了更為廣闊的天地。第一類Stirling數(shù):(nk)和第二類Stirling數(shù)S(nk)可以用發(fā)生函數(shù)的形式定