兩類流體問題的數(shù)學和數(shù)值分析.pdf

1、本文圍繞著兩種流體問題的數(shù)學和數(shù)值分析展開，流體速度都用的C-R有限元離散，壓力用分片常數(shù)離散.第一類問題是不可壓縮流體或微可壓縮流體的Darcy-Forchheimer模型.另一種模型是自由流體、多孔介質(zhì)流體和質(zhì)量傳遞方程組成的耦合系統(tǒng).
　　多孔介質(zhì)中流體運動的數(shù)學模型廣泛應(yīng)用于地下水、環(huán)境科學和油藏開發(fā)過程中的油水的運移等領(lǐng)域[5，7，63].該模型主要基于流體的質(zhì)量、動量和能量守恒律.工程上一般比較關(guān)心壓力、速度、溫度和濃

2、度等物理量，而關(guān)于地質(zhì)、流體描述的許多參數(shù)例如重力、黏度、壓縮系數(shù)、密度、孔隙度、滲透率、相對滲透率等對物理過程都起著重要作用，因此模型中圍繞著以上物理量并且遵循以上各種守恒律引入了這些參數(shù).由于介質(zhì)的非均質(zhì)性、各向異性導致引入的參數(shù)會劇烈地變化，因此許多物理量都是在平均意義下的，引入的模型及其相應(yīng)的近似形式都有一定的適用范圍.基于一些合理的假設(shè)，流體流動的數(shù)學模型可以簡化，但仍表現(xiàn)為依賴于時間的強耦合非線性偏微分方程組.由于該微分方程

3、組結(jié)構(gòu)復雜，只在特定情況下才有解析解存在，因此提出能夠保持系統(tǒng)物理性質(zhì)的高精度的、有效的數(shù)值格式成為科學與工程中的迫切需求.
　　Darcy定律描述了Newton流體壓力梯度和速度呈現(xiàn)線性關(guān)系，已由多年的實驗數(shù)據(jù)證實.這個線性關(guān)系只在合理的物理假設(shè)條件下才成立，例如流體流動地很緩慢，所有的慣性項可以忽略時[5].Darcy定律的理論推導可以參考[58，78]，Darcy流體對于油氣采收和預防地下水污染有著重要意義.
　　Fo

4、rchheimer(1901)[37]在沙包中做流體實驗時觀察到當Reynolds數(shù)比較大（大約Re＞1）時，Darcy定律不再充分成立且會出現(xiàn)壓力梯度和速度間的非線性關(guān)系.實際上，他通過對一大組實驗數(shù)據(jù)進行觀察發(fā)現(xiàn)，這個非線性關(guān)系是二次的[5].雖然目前還存在著對Darcy-Forchheimer方程泛函性的爭議[6]，但是非線性性已經(jīng)從實驗上、數(shù)值上[46]和理論上[55，69]被證實.Darcy-Forchheimer方程仍被用為

5、模擬多孔介質(zhì)中的高速流體的流動，尤其是在天然氣井附近[3].Forchheimer模型的推導可以參考[2，18，39，48，69，78]，F(xiàn)orchheimer模型數(shù)學理論研究可以參考[4，47，33，74].Forchheimer方程是單調(diào)非線性非退化的，類似的問題有p-Laplacian問題、擬Newtonian流和Ladyzhenskaya流體問題，處理這一類單調(diào)非線性算子的技巧和方法可以參考[30，31，34，35，44，72]

6、.
　　近年來，Darcy-Forchheimer模型的數(shù)值離散方法已有一些，[43，53]中引入了primal非協(xié)調(diào)混合有限元方法，[71]中給出了協(xié)調(diào)混合有限元方法，這種方法使得我們構(gòu)造的迭代格式中有限元系數(shù)矩陣更加稀疏，從而節(jié)省了內(nèi)存空間和CPU運行時間.Park[62]提出了微可壓縮流體Darcy-Forchheimer模型的對偶混合元方法.Girault和Wheeler[43]驗證了Darcy-Forchheimer問題

7、弱解的存在唯一性.他們提出一種primal混合元離散格式:速度用分片常數(shù)元離散、壓力使用不連續(xù)的C-R線性元離散（參考[23]）.他們提出了交替方向迭代算法來解非線性方程，并對迭代算法和有限元格式的收斂性都給予證明.López等[53]使用[43]中給出的格式進行數(shù)值實驗.對離散后的非線性方程組提出了Newton迭代方法并與[43]中的交替方向算法對比.進一步，在[53]中也提出了另外一種有限元，這種有限元使得對壓力的近似更加光滑，壓力

8、使用連續(xù)的P1 Lagrange有限元逼近，速度還是用不連續(xù)的分片常數(shù)元近似.Salas等[71]對這種數(shù)值方法給出了詳細的理論研究并提出了另外兩種數(shù)值方法:兩種方法中壓力還是用連續(xù)的P1 La-grange有限元逼近，速度的近似空間變成一次多項式，一種是速度用連續(xù)的P1 Lagrange有限元離散，另一種方法速度用不連續(xù)的C-R線性元離散.但是提出的這兩種新方法到目前為止還沒給出數(shù)學和數(shù)值研究.本文目標之一在于提出不可壓縮質(zhì)量守恒方程

9、與Darcy-Forchheimer方程耦合問題的一種新的對偶離散格式.速度和壓力分別由不連續(xù)的C-R元和分片常數(shù)元離散，這種混合元經(jīng)常用來處理Darcy-Stokes模型.在這種情形下，消去速度，該模型表現(xiàn)為壓力的二階橢圓方程.進一步地，假設(shè)流體微可壓縮，我們對微可壓縮質(zhì)量守恒方程與Darcy-Forchheimer方程耦合問題使用相同的離散格式，此時消去速度，模型表現(xiàn)為壓力的拋物方程.
　　到目前為止，已經(jīng)有很多關(guān)于耦合的自由

10、流和多孔介質(zhì)流問題的文獻.這類耦合問題的數(shù)學模型是由自由流體區(qū)域的Stokes方程，多孔介質(zhì)區(qū)域的Darcy方程再加上一些合適的界面條件組成.這些界面條件包括Beavers-Joseph-Saffman條件[8，70]，通量連續(xù)條件，力的平衡條件.這個問題在數(shù)學和數(shù)值分析方面也很具有挑戰(zhàn)性:兩區(qū)域內(nèi)方程的解具有不同的正則性，交界面上流體的切向速度不連續(xù)，變分形式中積分項在交界面上要比在區(qū)域內(nèi)部少一維，要保證不降低解的正則性和收斂階難度不

11、小.對于這個模型，已有不少文獻[24，38，51，54，66]提出了穩(wěn)定的和收斂的數(shù)值格式.當今社會面臨的一個很嚴重的問題就是由地下儲藏設(shè)備泄漏、化學藥品泄漏還有各種人類活動導致的地表水和地下水污染.由Stokes方程、Darcy方程和質(zhì)量傳遞方程組成的耦合系統(tǒng)可以用來描述水中泄漏的污染物的傳播并且評估污染風險.這個模型僅在[76]中給出系統(tǒng)的研究，其中流體的粘性系數(shù)假設(shè)與溶質(zhì)的濃度無關(guān)，這樣的假設(shè)實際已經(jīng)解耦了流動方程和濃度方程.

12、r>　　我們接下來研究的就是二維區(qū)域上由耦合的Darcy-Stokes方程和對流擴散方程組成的系統(tǒng)，其中對流擴散方程可以用來模擬流體中溶質(zhì)的運動，并且此時流體的粘性系數(shù)是依賴于溶質(zhì)的濃度.這個耦合問題實際含有兩層耦合含義:一是兩區(qū)域間的耦合，在不同的區(qū)域上有不同的流動方程、不同的擴散系數(shù)和不同的源匯項，只在交界面上進行物理量的傳遞;二是流動方程和質(zhì)量傳遞方程之間的耦合，通過流速和濃度彼此相互影響.因此這雙重耦合會導致整個系統(tǒng)異常復雜.對

13、兩個區(qū)域上的方程都用混合形式離散的數(shù)值算法又可分為兩類:一類是在不同區(qū)域用不同的有限元離散;另一種是在兩區(qū)域使用相同的有限元離散.使用同一有限元的優(yōu)勢在于不論是在理論分析還是在程序?qū)崿F(xiàn)中處理交界面條件更加方便，同時也使得編寫程序代碼時可以較少考慮單元所在區(qū)域，從而編寫效率更高.我們也用同一元的思想對這個系統(tǒng)提出了一種穩(wěn)定化混合元方法.在整個Stokes和Darcy區(qū)域?qū)α鲌鰤毫退俣确謩e采用分片常數(shù)和C-R有限元空間來逼近.這里使用C-

14、R元是因為它具有與分片常數(shù)壓力組合易于滿足inf-sup條件、能保持分片單元質(zhì)量守恒、二維和三維情形都容易實現(xiàn)等好處.然而，Mardal等人[54]指出對Darcy方程使用C-R元時離散格式并不收斂.眾所周知，C-R元不滿足離散的Korn's不等式，因此Hansbo和Larson[45]通過使用一個罰項[16]加罰速度在單元邊界上的跳躍來滿足離散的Korn's不等式.對于質(zhì)量傳遞方程中濃度的離散，我們使用經(jīng)典的Lagrange有限元.單

15、獨區(qū)域內(nèi)（特別是滲流區(qū)）的耦合流動和傳質(zhì)問題的工作，也就是多孔介質(zhì)區(qū)域內(nèi)混溶驅(qū)動問題已有很多文獻[9，73，49，36，19，27，28，68，20，47，32，29].
　　本文的組織結(jié)構(gòu)如下:
　　在第一章中，我們簡要地介紹了多孔介質(zhì)中Darcy-Forchheimer律的數(shù)學模型，基于流體的物理特性給出質(zhì)量守恒方程，并根據(jù)組分質(zhì)量守恒推導出多孔介質(zhì)流體中流體濃度的對流擴散方程.接著介紹了本文中常用的一些符號，包括函數(shù)空

16、間及其范數(shù)定義，并給出后面章節(jié)理論推導過程中常用的幾個引理.
　　在第二章中，我們提出了穩(wěn)定的對偶混合有限元格式來離散不可壓縮Darcy-Forchheimer流體方程.速度和壓力分別由非協(xié)調(diào)的Crouzeix-Raviart有限元和分片常數(shù)元近似.我們驗證了inf-sup條件并由這個條件成立和非線性算子的單調(diào)、強制、半連續(xù)性證明了離散解的存在唯一性.給出了速度L2和L3范數(shù)，壓力L2范數(shù)的先驗誤差估計.最后我們用數(shù)值實驗驗證了理

17、論分析的正確性，并對[59]中提出的數(shù)值格式和我們提出的格式做了數(shù)值比較，從某些方面說明我們的方法具有優(yōu)越性.
　　在第三章中，我們使用了跟第二章相同的穩(wěn)定的對偶混合有限元格式來離散微可壓縮Darcy-Forchheimer流體方程.通過引入Darcy-Forchheimer速度和壓力的投影來推導出半離散數(shù)值格式和全離散數(shù)值格式的先驗誤差估計.
　　在第四章中，我們考慮了一個由Stokes方程、Darcy方程以及質(zhì)量傳遞方程

18、組成的耦合系統(tǒng)，這個系統(tǒng)用來描述帶傳質(zhì)過程的自由流和多孔介質(zhì)流耦合問題模型，系統(tǒng)中流體的粘性系數(shù)是與濃度相關(guān)的.我們給出一種全離散有限元格式，從而把流體流動方程和濃度方程分離開來.在整個區(qū)域?qū)λ俣群蛪毫Ψ謩e使用Crouzeix-Raviart有限元和分片常數(shù)元近似并給出一個類似于[16]中的穩(wěn)定項加罰速度在單元邊界上的跳躍.對于濃度方程，我們用協(xié)調(diào)的Lagrange有限元來離散.通過對方程弱解做一些合理的正則性假設(shè)，我們給出了離散格式速