（α，β）-幾何及相關(guān)編碼問(wèn)題的研究.pdf

1、有限幾何是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，它為圖論、組合設(shè)計(jì)和編碼理論等方向提供了豐富的源泉。對(duì)于有限幾何的研究，有著重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用背景。有限幾何的理論與方法在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、信息論和計(jì)算機(jī)科學(xué)中都有著重要的地位。(α，β)-幾何是滿(mǎn)足特定條件的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，對(duì)它的研究可以追溯到1963年。1963年，Bose在研究強(qiáng)正則圖與PBD-設(shè)計(jì)的關(guān)系時(shí)，提出了偏幾何(偏幾何是(α，β)-幾何的一種特殊情形)的概念。目前關(guān)于偏幾何的理論已經(jīng)非

2、常豐富，但關(guān)于一般的(α，β)-幾何的結(jié)果卻少得多。對(duì)(α，β)-幾何的另一種特殊情形-半偏幾何的研究，是近10年活躍在幾何界的重要課題。在對(duì)(α，β)-幾何的研究中，不僅發(fā)現(xiàn)了一些具有良好性質(zhì)的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，揭示了這類(lèi)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征，也不斷創(chuàng)立與引入了許多新的理論與方法，而這些新的理論與方法也給其他學(xué)科方向的研究注入了活力。用有限幾何研究線性碼是一種行之有效的方法。在討論線性碼的最小長(zhǎng)度界方面，有限幾何是一種強(qiáng)有力的工具。人們也嘗試著

3、用幾何結(jié)構(gòu)構(gòu)造好碼。近年來(lái)，數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)學(xué)專(zhuān)家用幾何結(jié)構(gòu)構(gòu)造了一批LDPC碼。試驗(yàn)顯示，用偏幾何構(gòu)造的LDPC碼在最小距離，圈長(zhǎng)，誤碼率等方面都有不錯(cuò)的表現(xiàn)。我們希望了解更一般的(α，β)-幾何的性質(zhì)，能夠構(gòu)造出新的幾何結(jié)構(gòu)，并探討其在信息科學(xué)中的應(yīng)用。本文從(α，β)-幾何的嵌入、構(gòu)造、應(yīng)用等幾個(gè)方面進(jìn)行了研究。 本文的工作共分成六部分。 第一部分是概述，主要講述了問(wèn)題發(fā)展的歷史和現(xiàn)狀、采用的主要方法、面臨的困難，并

4、介紹了本文的主要工作。 第二部分討論了(1，β)-幾何在AG(3，q)中的全嵌入。證明了當(dāng)q＞2時(shí)，一個(gè)(1，q)-幾何能夠全嵌入在AG(3，q)中當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)線性表示，并進(jìn)一步討論了強(qiáng)正則的情形。另外，還給出了當(dāng)2＜β＜q時(shí)一類(lèi)全嵌入在AG(3，q)中的(1，β)-幾何是線性表示的充要條件。 第三部分提出了可誘導(dǎo)網(wǎng)的強(qiáng)正則(1，β)-幾何(β＞2)的概念。刻畫(huà)了一類(lèi)極大可誘導(dǎo)網(wǎng)的強(qiáng)正則(1，β)-幾何的特性。