拉格朗日子流形幾何及相關問題.pdf

1、本文主要研究了拉格朗日子流形幾何及相關問題，主要內(nèi)容包括伯恩斯坦型定理、特殊拉格朗日子流形的扭曲法叢構(gòu)造、哈密爾頓極小拉格朗日子流以及具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形。 標準的伯恩斯坦定理是說三維歐氏空間中的整體極小圖是平面．更為精確地說，設z=f(x，y)是定義在2-維歐氏空間R<'2>上的整體的光滑函數(shù)，如果圖∑=(x，y，f(x，y))是3-維歐氏空間R<'3>中的極小曲面，則函數(shù)f是一個線形函數(shù)，即圖∑是一個平面

2、．在余維數(shù)為1的情況，這個結(jié)果以被推廣到(n+1)一維歐氏空間中(n≤7)，以及在某種增長性限制下，這個結(jié)果被推廣到任意維數(shù)歐氏空間中，這些結(jié)果可以參考[17]及其參考文獻中所提到的文獻．對于高余維數(shù)的情況變得比較復雜．由于Lawson-Osserman在[31]中所提出的反例，我們不能希望有關高余維的Bernstein型定理在最一般的情況下是正確的．因此，我們必須在某種適當?shù)臈l件下來建立有關高余維情況的Bernstein型定理．近年來

3、，有關具有高余維數(shù)的極小子流形和特殊拉格朗日子流形的伯恩斯坦型定理在[23]，[24]，[39]，[41]和[43]取得了顯著的進展．這幾篇文章中的主要思想是尋找一個適當?shù)拇握{(diào)和函數(shù)，然后利用極值原理說明所找到的次調(diào)和函數(shù)為零，從而說明極小圖是全測地的．我們也采取相應的思想，得到一些四元數(shù)歐式空間中有關極小拉格朗日的伯恩斯坦型定理． 我們知道特殊拉格朗日子流形的例子對研究此類特殊的子流形是非常重要的意義．因此，近年來有不少研究者

4、通過多種方法構(gòu)造一些有關特殊拉格朗日子流形的重要例子．例如，R．Harvey和H．B．Lawson在[20]在復歐氏空間C<'n>中給出了特殊拉格日子流形的一些具體例子，特別地，他們通過余法叢構(gòu)造了一類特殊拉格朗日子流形．D．Joyce在[25]，[26]，[27]和[28]中構(gòu)造了一些有關特殊拉格朗日子流形的具體例子．A．Borisenko在[1]對R<'3>中的極小曲面通過扭曲法叢構(gòu)造在T*R<'3>中構(gòu)造了一類扭曲的特殊拉格朗日子

5、流形，他所用的方法是對[20]中余法叢構(gòu)造的一種推廣．R．L．Bryant在[3]給出了C<'3>中一種扭曲特殊拉格朗日子流形，他的這種構(gòu)造方式和[1]中的構(gòu)造方式是兩種不同的扭曲構(gòu)造方式．我們也通過扭曲法叢的構(gòu)造得到許多特殊拉格朗日子流形的具體例子． 除了對特殊拉格朗日子流形的關注以外，近年來關于極小拉格朗日子流形的推廣形式也有一些研究工作．Y．G．Oh在[33]和[34]中最先引進的哈密爾頓極小拉格朗日子流形，此類子流形式是

6、對極小拉格朗日子流形一種很好的推廣，同時他對此類子流形作了相應的研究．在[14]，[16]，[21]，[22]，[9]，[30]和[32]中，作者采用對稱約化或者可積系統(tǒng)方法在Kahler流形，特別是復空間形式中構(gòu)造了哈密爾頓極小的拉格朗日子流形的例子．我們知道除了上述推廣形式外，極小拉格朗日子流形還有另外一種很有意義的推廣形式，即具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形．這類子流形中最經(jīng)典的例子是在[42]，[7]及[11]中所給出的

7、whitney球．A．Ros和F．urbano在[37]詳細研究了C<'n>中的具有共形Maslov形式的拉格朗日子流形．X．L．Chao和X．Y．Dong在[12]也研究了復空間形式中具有共性Maslov形式的拉格朗日子流形，并證明了一個具有共性Maslov形式拉格朗日子流形的剛性定理．B．Y．Chen等在[5]中發(fā)展了一種非常有效的所扭曲積分解方法用來建立從實空間形式M<'n>(c)到復空間形式M<'n>(4c)的拉格朗日的等距浸入