一類色散波方程的孤波解研究.pdf

1、本文研究了一類淺水波系統(tǒng)，該類系統(tǒng)與KdV方程有著緊密的聯(lián)系，本文研究的內(nèi)容主要包括：方程的尖峰孤立子結(jié)構(gòu)、顯示孤立波的構(gòu)造、方程的Painleve性質(zhì)、Backlund變換、孤立波的存在性、可積方程的雙哈密頓結(jié)構(gòu)以及可積方程的爆破波等。
　　 第一章介紹了淺水波系統(tǒng)和孤立子理論的研究背景和現(xiàn)狀。
　　 第二章討論了淺水波系統(tǒng)的極限零點(diǎn)和分岔參數(shù)。經(jīng)過(guò)積分計(jì)算推導(dǎo)出在不同的參數(shù)和非線性強(qiáng)度情況下，系統(tǒng)的極限零點(diǎn)，求出它的

2、行波解的積分表達(dá)式，通過(guò)對(duì)行波解做代換，得到了尖峰孤立子解的分俞方程和分岔參數(shù)，給出多個(gè)尖峰孤立子的例子和數(shù)值模擬。進(jìn)一步擬設(shè)系統(tǒng)具有四類不同形式的孤立波，推導(dǎo)出系統(tǒng)大量的孤立波解，得到了該系統(tǒng)的一些新解，對(duì)緊孤立子，多重緊孤立子，周期緊孤立子等，并對(duì)高階淺水波系統(tǒng)進(jìn)行了討論。
　　 第三章討論了淺水波系統(tǒng)的可積方程族以及它的雙哈密頓結(jié)構(gòu)。通過(guò)研究一類新型的具有兩個(gè)位勢(shì)的兩階譜問(wèn)題，通過(guò)給出給定譜問(wèn)題的伴隨譜問(wèn)題和非線性化方法，

3、求出該系統(tǒng)的梯度，由此得到方程族的一個(gè)雙哈密頓結(jié)構(gòu)，經(jīng)證明這兩個(gè)算子滿足梯度的算子關(guān)系式，最后給出了多分量系統(tǒng)的爆破波。接著討論了淺水波系統(tǒng)的哈密頓結(jié)構(gòu)和爆破波問(wèn)題。通過(guò)對(duì)一類可積系統(tǒng)應(yīng)用變分跡等式，確定了淺水波系統(tǒng)的哈密頓泛函和哈密頓算子，因此給出它的雙哈密頓結(jié)構(gòu)的表達(dá)式。研究了淺水波系統(tǒng)的孤立波和爆破波的情況，從而證明了系統(tǒng)中能量發(fā)生了轉(zhuǎn)移。最后，我們求解了淺水波系統(tǒng)的孤立子解。
　　 第四章討論了淺水波系統(tǒng)的孤立子結(jié)構(gòu)和數(shù)

4、值模擬的情況。通過(guò)對(duì)一類淺水波系統(tǒng)添加非線性色散作用，它與系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象相互作用，產(chǎn)生了豐富的規(guī)則孤立子以及奇異孤立子結(jié)構(gòu)。通過(guò)對(duì)系統(tǒng)中的參數(shù)、微分項(xiàng)的系數(shù)、指數(shù)序列的分析，推導(dǎo)出了周期緊孤立子、多重孤立子結(jié)構(gòu)、扭結(jié)波和斑圖解等精確解。特別的，對(duì)一類具有對(duì)稱駝峰結(jié)構(gòu)的緊孤立子命名為“對(duì)緊孤立子”，并做出了這一類新型孤立子的周期解以及它的數(shù)值模擬。當(dāng)特定參數(shù)取零時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)包含一個(gè)或多個(gè)波峰的爆破現(xiàn)象，這里需要說(shuō)明的是該結(jié)構(gòu)的能量和它的

5、波速有關(guān)。接著，我們又得到了各種奇異的孤立子結(jié)構(gòu)，包括非對(duì)稱的緊孤立子結(jié)構(gòu)和多重非對(duì)稱緊孤立子結(jié)構(gòu)，它在波谷處存在一個(gè)類似尖峰的結(jié)構(gòu)，它的存在需要在有限域上有無(wú)窮的能量，并且能量要發(fā)生分歧。
　　 第五章討論了淺水波系統(tǒng)的Painleve測(cè)試和Backlund變換。首先對(duì)系統(tǒng)做奇異性分析判定該系統(tǒng)的Painleve可積性，通過(guò)改進(jìn)的WTC-Kruskal算法，證明該系統(tǒng)在Painleve意義下可積，得到了它的一組Painleve

6、-Backlund系統(tǒng)和Backlund變換。應(yīng)用Maple進(jìn)行復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，得到了豐富的規(guī)則孤立子和一類奇異孤立子，文中推導(dǎo)出了扭結(jié)孤立子的各種不同表達(dá)式，此時(shí)對(duì)于系統(tǒng)中的參數(shù)不添加限制條件，得到了緊孤立子和反緊孤立子，給出了這些孤立子的數(shù)值模擬，特別的，推導(dǎo)出一類在扭結(jié)孤立子的中間區(qū)域包含有一列周期尖點(diǎn)波的奇異結(jié)構(gòu)，即扭結(jié)孤立子與周期尖點(diǎn)波共存的情況。
　　 第六章討論了一類淺水波系統(tǒng)的爆破波，Backlund變換和奇異孤

7、立子結(jié)構(gòu)。通過(guò)直接的擬設(shè)計(jì)算，得到了該系統(tǒng)的爆破波以及它的周期波。特別的，得到一類在空間域的分布上與往略有不同的緊孤立子，即浮動(dòng)的緊孤立子。在這些規(guī)則的孤立子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對(duì)可積廣義系統(tǒng)應(yīng)用Backlund變換，最后得到三類奇異孤立子，分別是具有駝峰結(jié)構(gòu)的周期爆破波，具有爆破波結(jié)構(gòu)的扭結(jié)孤立子和緊孤立子。
　　 第七章討論了淺水波系統(tǒng)的孤立波存在性問(wèn)題，根據(jù)系統(tǒng)的初值條件和周期條件，在Hilbert空間里利用Galerkin方法