定積分與微積分的基本定理

1、統(tǒng)一教育專業(yè)專一1定積分與微積分的基本定理 定積分與微積分的基本定理知 識(shí) 梳理 梳理 1、定積分概念 、定積分概念定積分定義：如果函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，用分點(diǎn) ( ) f x [ , ] a b，將區(qū)間 等分成幾個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè) 0 1 2 1 i i n a x x x x x x b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [ , ] a b小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，作和 ，當(dāng) 1 [ , ] i i x x ? ( 1,2

2、, , ) i i n ? ? ?1( ) ( )ni iib a f xi f n ? ??? ? ? ? n ? ?時(shí)，上述和無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分，記作 ( ) f x [ , ] a b，即 ，這里 、 分別叫做積分的下 1 [ , ] i i x x ? ( ) b a f x dx ?1( ) lim ( )nb a i n ib a f x dx f n ??? ?? ? ? ? a b限與

3、上限，區(qū)間 叫做積分區(qū)間，函數(shù) 叫做被積函數(shù)， 叫做積分變量， [ , ] a b ( ) f x x叫做被積式. ( ) f x dx2、定積分性質(zhì) 、定積分性質(zhì)（1） ； ( ) ( )b b a a kf x dx k f x dx ? ? ?（2） 1 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ? ? ? ? ? ?（3） ( ) ( ) ( ) (

4、 ) c b ba c a f x dx f x dx f x dx a c b ? ? ? ? ? ? ?3、微積分基本定理 、微積分基本定理一般地，如果 是在 上有定義的連續(xù)函數(shù)， 是在 上可微，并且 ( ) f x [ , ] a b ( ) f x [ , ] a b，則 ，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛 '( ) ( ) F x f x ? ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a ? ? ?

5、頓—萊布尼茲公式，為了方便，常常把 ，記作 ，即 ( ) ( ) F b F a ? ( ) |ba F x. ( ) ( ) | ( ) ( ) b ba a f x dx F x F b F a ? ? ? ?4． 、常見求定積分的公式 、常見求定積分的公式（1） （2） （C 為常數(shù)） 1 1 | ( 1) 1b n n ba a x dx x n n? ? ? ? ? ? | b ba a cdx cx ? ?（3） （4） s

6、in cos | b ba a xdx x ? ? ? cos sin | b ba a xdx x ? ?（5） （6） 1 ln | ( 0) b ba a dx x b a x ? ? ? ? | b x x ba a e dx e ? ?（7） | ( 0 1) lnxb x ba aa a dx a a a ? ? ? ? 且統(tǒng)一教育專業(yè)專一3【新題導(dǎo)練】.考點(diǎn)： 定積分的應(yīng)用求平面區(qū)域的面積例 1. 求在 上，由 軸及正弦曲

7、線 圍成的圖形的面積. [0,2 ] ? x sin y x ?【解題思路】：因?yàn)樵?上， ，其圖象在 軸上方；在 上， [0, ] ? sin 0 x ? x [0,2 ] ? sin 0 x ?其圖象在 軸下方，此時(shí)定積分為圖形面積的相反數(shù)，應(yīng)加絕對(duì)值才表示面積. x解析：作出 在 上的圖象如右 sin y x ? [0,2 ] ?與 軸交于 0、 、 ，所 sin y x ? x ? 2?求積 2 20 0 sin | sin |

8、 ( cos ) | ( cos ) | 4 s xdx xdx x x ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【名師指引】利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：第一步：畫出圖形，確定圖形范圍第二步：解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限第三步：確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置第四步：計(jì)算定積分，求出平面圖形面積例 2. 2. 求曲線 ， 及 所圍成的平面圖形的面積. 2 y x ? y x ? 2 y

9、x ?思路分析： 思路分析：圖形由兩部分構(gòu)成，第一部分在區(qū)間 上， ， 及 圍 [0,1] 2 y x ? y x ? 2 x ?成，第一部分在 上由 與 圍成，所以所求面積應(yīng)為兩部分面積之和. [1,2] 2 x ? 2 y x ?解：作出 ， 及 的圖如右 2 y x ? y x ? 2 y x ?解方程組得22 y xy x? ? ? ? ?24xy? ? ? ? ?00xy? ? ? ? ?解方程組得2y xy x? ? ? ?