微積分基本概念

1、第1頁共26頁浙江博成教育微積分基本概念第一章函數(shù)、極限連續(xù)重點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)的圖形函數(shù)是微積分的研究對(duì)象因此在課程的開始要先對(duì)函數(shù)部分加以復(fù)習(xí)要求對(duì)函數(shù)的概念、表示方法、性質(zhì)及基本初等函數(shù)的圖形有較好的理解與掌握.極限是微積分的基礎(chǔ)故需要介紹一下因?yàn)椴豢荚嚬什蛔鲝?fù)習(xí)重點(diǎn)不作任何要求也不做練習(xí)題.一、函數(shù)（一）函數(shù)的概念（一）函數(shù)的概念1函數(shù)的定義【定義1.1】設(shè)在某一變化過程中有兩個(gè)變量和若對(duì)非空集合中的每一點(diǎn)都按照某一xyDx對(duì)應(yīng)

2、規(guī)則有惟一確定的實(shí)數(shù)與之相對(duì)應(yīng)則稱是的函數(shù)記作fyyx.)(Dxxfy??稱為自變量稱為因變量稱為函數(shù)的定義域的取值范圍即集合稱為函數(shù)xyDy??Dxxfyy??)(|的值域.平面上點(diǎn)的集合稱為函數(shù)的圖形.xoy??Dxxfyyx??)(|)()(xfy?定義域(或記)與對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)要素.因此稱兩個(gè)函數(shù)相同是指它們的定義域DfDf與對(duì)應(yīng)法則都相同.2函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法一般有三種：解析法、表格法、圖示法.這三種表示方

3、法各有其特點(diǎn)表格法和圖示法直觀解析法便于運(yùn)算在實(shí)際中經(jīng)常結(jié)合使用.3函數(shù)定義域的求法由解析式表示的函數(shù)其定義域是指使該函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取值的全體這種定義域稱為自然定義域自然定義域通常不寫出需要我們?nèi)デ蟪鲆虼吮仨氄莆找恍┏Ｓ煤瘮?shù)表達(dá)式有意義的條件.（二）函數(shù)的幾何特性（二）函數(shù)的幾何特性1單調(diào)性（1）【定義1.2】設(shè)函數(shù)在實(shí)數(shù)集上有定義對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)當(dāng)＜時(shí)若)(xfDD21xx1x2x總有≤成立則稱內(nèi)單調(diào)遞增（或單增）；若總有＜成

4、立則稱)(1xf)(2xfDxf在)()(1xf)(2xf在內(nèi)嚴(yán)格單增嚴(yán)格單增也是單增.當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)又稱內(nèi)的單調(diào)遞增函)(xfD)(xfDDxf是)(數(shù).類似可以定義單調(diào)遞減或嚴(yán)格單減.單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).（2）可以用定義證明函數(shù)的單調(diào)性對(duì)幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)可以根據(jù)熟悉的幾何圖形找出其單調(diào)區(qū)間.對(duì)一般的初等函數(shù)我們將利用導(dǎo)數(shù)來求其單調(diào)區(qū)間.2有界性【定義1.3】設(shè)函數(shù)若存在實(shí)數(shù)＞0使得對(duì)任意都有內(nèi)有定義在集合D

5、xf)(MDx?|)(|xf≤則稱在內(nèi)有界或稱為內(nèi)的有界函數(shù).M)(xfD)(xfD【定義1.4】設(shè)函數(shù)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)＞0總可以找到一使得內(nèi)有定義在集合Dxf)(MDx?＞則稱在內(nèi)無界或稱為內(nèi)的無界函數(shù).|)(|xfM)(xfD)(xfD第3頁共26頁浙江博成教育圖11（三）初等函數(shù)（三）初等函數(shù)1基本初等函數(shù)（1）常數(shù)函數(shù)定義域?yàn)?∞∞)圖形為平行于軸的直線.在軸上的截距為.Cy?xyc（2）冪函數(shù)其定義域隨著的不同而變化.但不論取何

6、值總在（1∞）內(nèi)有定義且?xy???圖形過點(diǎn)（11）.當(dāng)＞0時(shí)函數(shù)圖形過原點(diǎn)（圖12）?（a）(b)圖12（3）指數(shù)函數(shù)其定義域?yàn)椋ā蕖蓿?)10(??????xy當(dāng)0＜＜1時(shí)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞減.當(dāng)＞1時(shí)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增.子數(shù)圖形過點(diǎn)（01）.微積分中??經(jīng)常用到以為底的指數(shù)函數(shù)即（圖13）exey?（4）對(duì)數(shù)函數(shù)其定義域?yàn)椋?∞）它與互為反函數(shù).微積分)10(log??????xyxy??中常用到以e為底的對(duì)數(shù)記作稱為自然對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)函數(shù)

7、的圖形過點(diǎn)（10）（圖14）nxy1?(圖13)(圖14)另有兩類基本初等函數(shù)：三角函數(shù)與反三角函數(shù)不在考綱之內(nèi).對(duì)基本初等函數(shù)的特性和圖形要熟練地掌握這充分條件判斷、導(dǎo)數(shù)和定積分應(yīng)用中都很重要.例如設(shè)″＜0.fbaxbaxf)()()(?對(duì)任意區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)在)(x則(1)′在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少；（2）在上為凸弧均不充分.f)(x)(ba)(xf)1(b此題可以用舉例的方法來說明（1）、（2）均不充分.由初等函數(shù)的圖形可知為凸弧.′=4x