2.5 第1課時(shí) 二次函數(shù)與一元二次方程1

1、2.5 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)與一元二次方程第 1 課時(shí) 課時(shí) 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)與一元二次方程1．經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系；(重點(diǎn))2．理解二次函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系，理解何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)根和沒有實(shí)根；(重點(diǎn))3．通過觀察二次函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論一元二次方程的根的情況，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想．(難點(diǎn))一

2、、情境導(dǎo)入一個(gè)涵洞成拋物線形，它的截面如圖所示．現(xiàn)測得，當(dāng)水面寬 AB＝1.6m 時(shí)，涵洞頂點(diǎn)與水面的距離 OC＝2.4m.當(dāng)水位上升一定高度到達(dá)點(diǎn) F 時(shí)，這時(shí)，離水面距離 CF＝1.5m，則涵洞寬 ED 是多少？是否會超過 1m?根據(jù)已知條件，要求 ED 寬，只要求出 FD 的長度．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，只要求出點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)即可．由已知條件可得到點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)，又因?yàn)辄c(diǎn) D 在涵洞所成的拋物線上，所以利用拋物線的函數(shù)關(guān)系式

3、可以進(jìn)一步算出點(diǎn)D 的橫坐標(biāo)．你會求嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程 【類型一】 求拋物線與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)已知二次函數(shù) y＝2x2－4x－6，它的圖象與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝2(x－3)(x＋1)，設(shè) 2(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴它的圖象與 x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，0)，(－1，0)．故答案為(3，0)，(－

4、1，0)．方法總結(jié)：拋物線與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是二次函數(shù)為 0 時(shí)，一元二次方程的解．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 6 題【類型二】 判斷拋物線與 x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與 x 軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若此拋物線與 x 軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù) m 的值．解析：(1)只需證明Δ＝(m＋2)2－4m×

5、;2≥0 即可；(2)利用因式分解法求得拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù) x 的值來求正整數(shù) m 的值．(1)證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－的拋物線問題如圖，足球場上守門員在 O 處開出一高球，球從離地面 1 米的 A 處飛出(A在 y 軸上)，運(yùn)動員乙在距 O 點(diǎn) 6 米的 B 處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn) M，距地面約 4 米高，球落地后又一次彈起．據(jù)

6、實(shí)驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．(1)求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式；(2)足球第一次落地點(diǎn) C 距守門員多少米(取 4 ＝7)? 3(3)運(yùn)動員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn) D，他應(yīng)再向前跑多少米(取 2 ＝5)? 6解析：要求足球開始飛出到第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式，則需要根據(jù)已知條件確定點(diǎn) A 和頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)，因?yàn)?OA＝1，OB＝6，BM＝4，所以點(diǎn) A 的坐

7、標(biāo)為(0，1)，頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)是(6，4)．根據(jù)頂點(diǎn)式可求得拋物線關(guān)系式．因?yàn)辄c(diǎn) C 在 x 軸上，所以要求 OC 的長，只要把點(diǎn) C 的縱坐標(biāo) y＝0 代入函數(shù)關(guān)系式，通過解方程求得 OC 的長．要計(jì)算運(yùn)動員乙要搶到第二個(gè)落點(diǎn) D，他應(yīng)再向前跑多少米，實(shí)際就是求 DB 的長．求解的方法有多種．解：(1)設(shè)第一次落地時(shí)，拋物線的表達(dá)式為 y＝a(x－6)2＋4，由已知：當(dāng) x＝0 時(shí)，y＝1，即 1＝36a＋4，所以 a＝－ .112

8、所以函數(shù)表達(dá)式為 y＝－ (x－6)2＋4112或 y＝－ x2＋x＋1；112(2)令 y＝0，則－ (x－6)2＋4＝0，112所以(x－6)2＝48，所以 x1＝4 ＋6≈ 313，x2＝－4 ＋6<0(舍去)． 3所以足球第一次落地距守門員約 13米；(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CD＝EF(即相當(dāng)于將拋物線 AEMFC 向下平移了 2 個(gè)單位)．所以 2＝－ (x－6)2＋4，解得 x1＝6－112

9、2 ，x2＝6＋2 ， 6 6所以 CD＝|x1－x2|＝4 ≈10. 6所以 BD＝13－6＋10＝17(米)．方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是先進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，將實(shí)際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的條件．常有兩個(gè)步驟：(1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)的關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題；(2)應(yīng)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)作答．三、板書設(shè)計(jì)二次函數(shù)與一元二次方程1.二次函數(shù)與一元二次方程2.利用二次函數(shù)解決運(yùn)動中的拋物線問題本節(jié)課注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓