線積分及面積分

1、41第四章第四章線積分與面積分線積分與面積分4.1線積分線積分在基本微積分中，我們知道單變數(shù)積分的幾何意義就是求單變數(shù)函數(shù)圖形與X軸之間的面積，其做法為將圖形下的區(qū)域沿著X軸切割成許多的長方條(元素)，然後將這些長方條的面積沿著X方向累加而形成所謂的Riemannsum並取其極限值後，即定義所謂的定積分。換言之，我們過去所學(xué)的積分概念是針對單變數(shù)函數(shù)沿著直線座標(biāo)軸X(或Y)來求面積。而接下來所要介紹的線積分（lineintegral）是

2、針對雙變數(shù)函數(shù)沿XY平面上一曲線方向的積分。在幾何上，雙變數(shù)函數(shù)代表空間中的一個曲面，故線積分就是要求該曲面與XY平面上之曲線間所包圍之區(qū)域的面積。所以線積分可以說是前述單變數(shù)定積分之一般化的結(jié)果。?從數(shù)學(xué)上的幾何觀點(diǎn)定義線積分從數(shù)學(xué)上的幾何觀點(diǎn)定義線積分假設(shè)C為XY平面上之曲線，並以參數(shù)表示為：xgtyhttb????()()a且雙變數(shù)函數(shù)f為x、y之函數(shù)，表空間中一曲面。現(xiàn)若將曲線C切割成許多段的小弧，且各弧長為，則曲面與曲線間所包

3、圍的區(qū)域面積可表為：?Silim()()??SiiiiCifxySfxydS????0此式稱為f沿曲線C之線積分。ZYC?Si?yi?xifxyii()YX?SiXC由上圖可知，當(dāng)很小時，近似一直線，故由畢氏定理可知?xi?Si???Sxyiii??2243若有兩個不同之連續(xù)函數(shù)M(xy)及N(xy)分別對同一路徑做線積分時，其結(jié)果可合併為：MxydxNxydyMxydxNxydyCCC()()()()??????以上的線積分公式可推廣

4、至對空間曲線之線積分公式，假設(shè)C為空間中之曲線，並以參數(shù)表示為：xgtyhtzkttb?????()()()a則線積分公式為：fxyzdSfgthtktgthtktdtC()(()()())()()()????????222?線積分的計算方法線積分的計算方法：1.當(dāng)曲線C以參數(shù)方式表示為：時，則將積分式xgtyhttb????()()a中的x與y均以g(t)及h(t)代換，並令，且以a及bdxgtdtdyhtdt????()()為上下限

5、。2.當(dāng)曲線C以方式表示時，則不必以參數(shù)代換，而直接以ygxxb???()ay=g(x)及代入，並以a及b為上下限。dygxdx??()?從物理上功的觀念定義線積分從物理上功的觀念定義線積分假設(shè)向量空間中一質(zhì)點(diǎn)受向量力場之作用，此力場為：?FxyzMxyzNxyzPxyz()()()()???ijk若質(zhì)點(diǎn)位於一曲線C上，且其參數(shù)式為：xgtyhtzkttb?????()()()a，則沿曲線C移動該質(zhì)點(diǎn)一微小位移時所做的功為：?F????