初數學競賽座數字數位及數謎問題

1、初一數學競賽講座(三)數字、數位及數謎問題第1頁共7頁初一數學競賽講座初一數學競賽講座(三)數字、數位及數謎問題數字、數位及數謎問題一、一、知識要點1、整數的十進位數碼表示一般地，任何一個n位的自然數都可以表示成：122321110101010aaaaannnn?????????????其中，ai(i=1，2，…，n)表示數碼，且0≤ai≤9，an≠0.對于確定的自然數N，它的表示是唯一的，常將這個數記為N=121aaaann??2、正

2、整數指數冪的末兩位數字(1)(1)設m、n都是正整數，a是m的末位數字，則mn的末位數字就是an的末位數字。(2)(2)設p、q都是正整數，m是任意正整數，則m4pq的末位數字與mq的末位數字相同。3、在與整數有關的數學問題中，有不少問題涉及到求符合一定條件的整數是多少的問題，這類問題稱為數迷問題。這類問題不需要過多的計算，只需要認真細致地分析，有時可以用“湊”、“猜”的方法求解，是一種有趣的數學游戲。二、二、例題精講例1、有一個四位數

3、，已知其十位數字減去2等于個位數字，其個位數字加上2等于其百位數字，把這個四位數的四個數字反著次序排列所成的數與原數之和等于9988，求這個四位數。分析：將這個四位數用十進位數碼表示，以便利用它和它的反序數的關系列式來解決問題。解：設所求的四位數為a?103b?102c?10d，依題意得：(a?103b?102c?10d)(d?103c?102b?10a)=9988∴(ad)?103(bc)?102(bc)?10(ad)=9988比較等

4、式兩邊首、末兩位數字，得ad=8，于是bc18又∵c2=d，d2=b，∴bc=0從而解得：a=1，b=9，c=9，d=7故所求的四位數為1997評注：將整數用十進位數碼表示，有助于將已知條件轉化為等式，從而解決問題。例2一個正整數N的各位數字不全相等，如果將N的各位數字重新排列，必可得到一個最大數和一個最小數，若最大數與最小數的差正好等于原來的數N，則稱N為“新生數”，試求所有的三位“新生數”。分析：將所有的三位“新生數”寫出來，然后設

5、出最大、最小數，求差后分析求出所有三位“新生數”的可能值，再進行篩選確定。解：設N是所求的三位“新生數”，它的各位數字分別為a、b、c(a、b、c不全相等)，將其各位數字重新排列后，連同原數共得6個三位數：cbacabbcabacacbabc，不妨設其中的最大數為abc，則最小數為cba。由“新生數”的定義，得初一數學競賽講座(三)數字、數位及數謎問題第3頁共7頁=10(987281101010aaaa????????)(1973821

6、01010aaaa????????)=101010109738291????????aaaa?(197382101010aaaa????????)=????13191911100011010aaaa??????∵??????1100010009991100010001100011000223????????而999能被27整除，∴100031也能被27整除。因此，1932aaaa?能被27整除。從而問題得證。評注：本題中，1091難以分

7、解因數，故將它化為100031，使問題得到順利解決。這種想辦法降低次數的思想，應注意領會掌握。例5證明：111111112112113113能被10整除分析：要證明111111112112113113能被10整除，只需證明111111112112113113的末位數字為0，即證111111，112112，113113三個數的末位數字和為10。證明：111111的末位數字顯然為1；112112=(1124)28，而1124的末位數字是6，

8、所以112112的末位數字也是6；113113=(1134)28?113，1134的末位數字是1，所以113113的末位數字是3；∴111111，112112，113113三個數的末位數字和為163=10∴111111112112113113能被10整除評注：本題是將證明被10整除轉化為求三數的末位數字和為10。解決數學問題時，常將未知的問題轉化為熟知的問題、復雜的問題轉化為簡單的問題，這是化歸思想。例6設P(m)表示自然數m的末位數，

9、????nPnPan??2求199521aaa???的值。解：199521aaa???=????112PP?????222PP?…????199519952PP?=????????????????199521199521222PPPPPP?????????=????199521199521222?????????PP∵1995=10?1995，又因為連續(xù)10個自然數的平方和的末位數都是5∴??????519954321199521222