隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望

1、,§2.3.1 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,(1)均值 稱E(X)=_______________________為隨機(jī)變量X的均值或_________,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的__________.,x1p1+x2p2+…+xi pi+…+xn pn,數(shù)學(xué)期望,平均,水平,2.均值的性質(zhì) (1)E(aX+b)=__________.3.兩

2、點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值 (1)若X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=_______. (2)若X~B(n,p),則E(X)=____,4.若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則E(X)=_______.,aE(X)+b,1.若隨機(jī)變量X的分布列如表,則E(X)等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由分布列的性質(zhì), 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,

3、 ∴E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5x =40x=,C,2.已知某一隨機(jī)變量 的概率分布列如下,且 =6.3,則a的值為 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由分布列性質(zhì)知：0.5+0.1+b=1,∴b=0.4.

4、 ∴ =4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3.∴a=7.,C,3.有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中有放 回地任取3件,若X表示取到次品的次數(shù),則E(X)= ______.,(2008·湖北理，17)袋中有20個(gè)大小相 同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上n號(hào)的有n個(gè) (n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,ξ表示所取球的標(biāo) 號(hào). 求ξ的分布列、期望；

5、解 (1)ξ的分布列為,某中學(xué)組建了A、B、C、D、E五個(gè)不同 的社團(tuán)組織，為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好,要求每個(gè)學(xué)生 必須參加，且只能參加一個(gè)社團(tuán).假定某班級(jí)的甲、 乙、丙三名學(xué)生對(duì)這五個(gè)社團(tuán)的選擇是等可能的. (1)求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個(gè)社團(tuán)的所有選法 種數(shù)； (2)求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團(tuán)的 概率； (3)設(shè)隨機(jī)變量ξ為甲、乙、丙這三名學(xué)生參加A社 團(tuán)的人數(shù),求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.,解 (1

6、)甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五個(gè)社團(tuán)的方 法數(shù)是5種,故共有5×5×5=125(種). (2)三名學(xué)生選擇三個(gè)不同社團(tuán)的概率是∴三名學(xué)生中至少有兩人選擇同一個(gè)社團(tuán)的概率為(3)由題意ξ=0,1,2,3.,∴ξ的分布列為∴ξ的數(shù)學(xué)期望,題型三 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 【例3】 (12分）(2008·廣東理,17)隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn) 品200件，經(jīng)質(zhì)檢，

7、其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元,而1件次品虧損2萬(wàn)元.設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)為ξ. (1)求ξ的分布列； (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(即ξ的數(shù)學(xué)期望)； (3)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品,但次品率降 為1%,一等品率提高為70%.如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的 平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元,則三等品率最多是多少？,思維啟迪

8、 確定隨機(jī)變量→寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列→計(jì)算數(shù)學(xué)期望→列不等式求解.解 (1)ξ的所有可能取值有6,2,1,-2.故ξ的分布列為(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(萬(wàn)元).,(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的 平均利潤(rùn)為E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+x+(-2

9、)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依題意,知E(ξ)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03.所以三等品率最多為3%. 解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變 量取每一個(gè)值所表示的具體事件,求得該事件發(fā)生的概率,本題第(3)問(wèn)充分利用了分布列的性質(zhì)p1+p2+…+pi+…=1.,探究提高,知能遷移3 現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,對(duì)甲項(xiàng)目每投資 10萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.

10、2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17 萬(wàn)元的概率分別為 已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與 產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中,價(jià)格下降的概 率都是p(0<p<1).設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行 2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下 降次數(shù)為ξ,對(duì)乙項(xiàng)目投資10萬(wàn)元,ξ取0、1、2時(shí), 一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元. 隨機(jī)變量ξ1、ξ2分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資 1

11、0萬(wàn)元一年后的利潤(rùn).,(1)求ξ1、ξ2的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ1)、 E(ξ2);(2)當(dāng)E(ξ1)<E(ξ2)時(shí),求p的取值范圍.解 (1)方法一 ξ1的概率分布列為,由題設(shè)得ξ~B(2,p), 即ξ的概率分布列為故ξ2的概率分布列為所以ξ2的數(shù)學(xué)期望是E(ξ2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0

12、.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3.,方法二 ξ1的概率分布列為 設(shè)Ai表示事件“第i次調(diào)整,價(jià)格下降”(i=1,2),則,故ξ2的概率分布列為 所以ξ2的數(shù)學(xué)期望為E(ξ2)=1.3×(1-p)2+1.25

13、×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p+1.3.(2)由E(ξ1)1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4<p<0.3.因?yàn)?<p<1,所以當(dāng)E(ξ1)<E(ξ2)時(shí),p的取值范圍是0<p<0.3.,3.設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示且E

14、(ξ)=1.6,則a-b 等于 ( ) A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4,5.某街頭小攤,在不下雨的日子一天可賺到100元,在 下雨的日子每天要損失10元,若該地區(qū)每年下雨的 日子約為130天，則此小攤每天獲利的期望值是 (一年按365天計(jì)算)

15、( ) A.60.82元 B.68.02元C.58.82元 D.60.28元 解析 ∴選A.,A,6.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分 的概率為b,不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1)),已 知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2(不計(jì)其他得分情 況),則ab的最大值為 ( ) A. B.

16、 C. D. 解析 設(shè)投籃得分為隨機(jī)變量X,則X的分布列為 當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b時(shí),等號(hào)成立.,D,二、填空題7.有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中任取 3件,若ξ表示取到次品的個(gè)數(shù),則E(ξ)=____. 解析 ξ的取值為0,1,2,3,則,8.(2009·上海理，7)某學(xué)校要從5名男生和2名女生 中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量ξ 表示選出

17、的志愿者中女生的人數(shù),則數(shù)學(xué)期望 E(ξ)=______(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示). 解析 ξ的可能取值為0,1,2,,三、解答題 10.袋中有相同的5個(gè)球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)黃球,現(xiàn)從 中隨機(jī)且不放回地摸球,每次摸1個(gè)，當(dāng)兩種顏色的 球都被摸到時(shí),即停止摸球,記隨機(jī)變量ξ為此時(shí)已 摸球的次數(shù),求: (1)隨機(jī)變量ξ的概率分布列； (2)隨機(jī)變量ξ的

18、數(shù)學(xué)期望與方差.,解 (1)隨機(jī)變量ξ可取的值為2,3,4,所以隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：,(2)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量ξ的方差,11.某地區(qū)試行高考考試改革:在高三學(xué)年中舉行5次 統(tǒng)一測(cè)試,學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠 學(xué)分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí),不用參加其余的測(cè)試,而每 個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試.假設(shè)某學(xué)生每次通 過(guò)測(cè)試的概率都是 每次測(cè)試時(shí)間間隔恰當(dāng),每次 測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立.

19、 (1)求該學(xué)生考上大學(xué)的概率； (2)如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束,記該生參 加測(cè)試的次數(shù)為X,求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望.,解 (1)記“該學(xué)生考上大學(xué)”為事件A，其對(duì)立事 件為 (2)參加測(cè)試次數(shù)X的可能取值為2,3,4,5.,故X的分布列為：答 該生考上大學(xué)的概率為 所求數(shù)學(xué)期望是,12.(2009·陜西理，19)某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi) 者投訴的次數(shù)用ξ表示,據(jù)統(tǒng)計(jì),隨

20、機(jī)變量ξ的概率 分布列如下表： (1)求a的值和ξ的數(shù)學(xué)期望； (2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影 響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概 率.,解 (1)由概率分布列的性質(zhì)有0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2.∴ξ的概率分布列為∴E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.,(2)設(shè)事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2