3常系數(shù)線性差分方程

1、§1.3 常系數(shù)線性差分方程,1、形式：,常系數(shù)：是指方程中a1、a2、… an和b1、b2、… bm為常數(shù)。,階數(shù)： y(n)項(xiàng)中變量序號的最高值與最低值之差。,線性： y(n-k)與x(n-m)項(xiàng)都只有一次冪，且不存在相乘項(xiàng)。,2、常系數(shù)差分方程的求解：,① 經(jīng)典解法：類似于模擬系統(tǒng)求解微分方程的方法，要求 齊次解、特解，并由邊界條件求待定系數(shù)。 由于計(jì)算復(fù)雜，較少使

2、用。,② 遞推(迭代)法：簡單、適于用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。但只能 得到一系列數(shù)值解，不易得到封閉式(公 式)解答。,③ 變換域法：將差分方程變換到z域求解。,④ 卷積法：由差分方程求出系統(tǒng)的h(n)，再與已知的x(n) 進(jìn)行卷積，得到y(tǒng)(n)。,例：用迭代法求解差分方程—求單位抽樣響應(yīng)h(n) 設(shè)系統(tǒng)差分方程為：y(n)-ay(n-1)=x(n

3、)，求h(n)。,h(0) = ah(-1)+?(0) = 0+1 = 1,h(1) = ah(0)+?(1) = a+0 = a,h(2) = ah(1)+?(2) = a2+0 = a2,解：設(shè)x(n)=?(n)，對因果系統(tǒng)，有：y(n)=h(n)=0，當(dāng)n<0。,h(n) = ah(n-1)+0 = an+0 = an,...,故系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為：h(n)=anu(n)。這個(gè)系統(tǒng)顯然是因果系統(tǒng)，當(dāng)|a|<1時(shí)，

4、它還是穩(wěn)定系統(tǒng)。,注意：一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，并不一定代表因果系統(tǒng)。 如果邊界條件假設(shè)不同，可以得到非因果系統(tǒng)。,例：設(shè)系統(tǒng)差分方程仍為：y(n)-ay(n-1)=x(n)，求h(n)。,解：設(shè)x(n)=?(n)，有：y(n)=h(n)=0，當(dāng)n>0。,可寫出另一種遞推關(guān)系：y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)],h(0) = a-1[h(1)-?(1)] = 0,h(-1) = a-1[h(0)-?(0)] =

5、 -a-1,h(-2) = a-1[h(-1)+?(-1)] = -a-2,h(n) = a-nu(-n-1),...,該系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為：h(n)=-a-nu(-n-1)。這個(gè)系統(tǒng)顯然不是因果系統(tǒng)，但它的差分方程與前一題相同。,另外：一個(gè)常系數(shù)線性差分方程，只有當(dāng)邊界條件選擇合適 時(shí)，才相當(dāng)于一個(gè)線性移不變系統(tǒng)。,例：設(shè)系統(tǒng)差分方程仍為：y(n)-ay(n-1)=x(n),A、當(dāng)邊界條件為y(0)=1時(shí)，為非線性

6、、移變系統(tǒng),B、當(dāng)邊界條件為y(0)=0時(shí)，為線性、移變系統(tǒng),C、當(dāng)邊界條件為y(-1)=0時(shí)，為線性、移不變系統(tǒng),證：(這里只證明A，B和C留給大家課后思考證明。),,令：x2(n)=?(n-1)， y2(0)=1,y2(1) = ay2(0)+x2(1) = a+1,y2(2) = ay2(1)+x2(2) = a2+a,…,y2(n) = ay2(n-1)+x2(n) = an+an-1,∴ y2(n) = anu(n)+ an-

7、1u(n-1),x1(n)和x2(n)為移位關(guān)系，但y1(n)和y2(n)不是移位關(guān)系，故不是移不變系統(tǒng)。,,令：x1(n)=?(n)， y1(0)=1,y1(1) = ay1(0)+x1(1) = a,y1(2) = ay1(1)+x1(2) = a2,…,y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an,∴ y1(n) = anu(n),前面已經(jīng)證明： 當(dāng) x1(n)=?(n) 時(shí)，y1(n) = anu(n)

8、 當(dāng) x2(n)=?(n-1) 時(shí)， y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1),,令：x3(n)=?(n)+?(n-1)， y3(0)=1,y3(1) = ay3(0)+x3(1) = a+1,y3(2) = ay3(1)+x3(2) = a2+a,…,y3(n) = ay3(n-1)+x3(n) = an+an-1,∴ y3(n) = anu(n)+ an-1u(n-1),∵ 當(dāng)x3(n)=x1(n)+x2(n)時(shí)，y3