求線性差分方程的通項(xiàng)之?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

1、1欽州學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)完成日期2010年11月8日，第11周，星期一成績(jī)等級(jí)（五級(jí)分制）評(píng)閱教師評(píng)閱日期年月日數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告填寫要求：思路清晰，中間結(jié)果和最終結(jié)果真實(shí)；字跡工整，報(bào)告完整。[實(shí)驗(yàn)題目及內(nèi)容實(shí)驗(yàn)題目及內(nèi)容]實(shí)驗(yàn)題目：借助計(jì)算機(jī)，求解下列線性差分方程（即求出數(shù)列的通項(xiàng)公式）。?????????83222112aaaaannn內(nèi)容：為了能直觀了解數(shù)列的特性，結(jié)合運(yùn)用Matlab軟件計(jì)算出nnnaaa221

2、2????數(shù)列的通項(xiàng)。nnnaaa2212????[問題描述問題描述]（用自己組織的相關(guān)數(shù)學(xué)語(yǔ)言重述現(xiàn)實(shí)問題；注意對(duì)約定的條件作說明）（用自己組織的相關(guān)數(shù)學(xué)語(yǔ)言重述現(xiàn)實(shí)問題；注意對(duì)約定的條件作說明）數(shù)列滿足遞推關(guān)系，稱這樣的遞推關(guān)系為二階線性差分方程。根nnnaaa2212????據(jù)觀察，可以猜測(cè)具有指數(shù)形式，可設(shè)，得到，從而有nanna??nnn???2212????，運(yùn)用Matlab求方程得、的解。222????1?2?和都是差分方

3、程的解，都是數(shù)列的通項(xiàng)，但數(shù)列不會(huì)有兩個(gè)通項(xiàng)。猜測(cè)與1?2?1?2?的線性組合仍是差分方程的解。設(shè)，代入差分方程進(jìn)行檢驗(yàn)，猜測(cè)是否nnncca2211????成立。若成立，求出差分方程的解。na根據(jù)初始條件，可能確定常數(shù)、的值。由此得出，31?a82?a1c2c數(shù)列的通項(xiàng)公式。nnnaaa2212????[模型建立或思路分析模型建立或思路分析]（建立合理，可解釋的數(shù)學(xué)模型，通過公式、表格或圖形直觀明確（建立合理，可解釋的數(shù)學(xué)模型，通過公

4、式、表格或圖形直觀明確地描述模型的結(jié)構(gòu)；無法通過建立模型解決的，給出解題的思路及辦法。）地描述模型的結(jié)構(gòu)；無法通過建立模型解決的，給出解題的思路及辦法。）設(shè)，二階線性差分方程轉(zhuǎn)換成，所以nna??nnnaaa2212????nnn???2212????有，利用Matlab解得差分方程的解，的值，求得的解也是數(shù)列的通222????1?2?3Matlab軟件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式為：nnnaaa2212????nnna)31)(3321()3

5、1)(3321(??????（2）類似的問題可以了解Fabonacci數(shù)列的特性，利用求通項(xiàng)的方法，可以計(jì)算出Fabonacci數(shù)列的通項(xiàng)為。?????????12112fffffnnn????????????????????????????nfnn25125151[求解方法或解題步驟求解方法或解題步驟]（針對(duì)所建模型或解題思路，給出具體的求解方法或解題步驟。對(duì)（針對(duì)所建模型或解題思路，給出具體的求解方法或解題步驟。對(duì)通過編程解決的問題

6、，畫出流程圖，給出細(xì)節(jié)部分的算法，給出相關(guān)軟件的代碼；其他方通過編程解決的問題，畫出流程圖，給出細(xì)節(jié)部分的算法，給出相關(guān)軟件的代碼；其他方法解決的，給出詳細(xì)的解題步驟。）法解決的，給出詳細(xì)的解題步驟。）（1）數(shù)列滿足遞推關(guān)系，稱這樣的遞推關(guān)系為二階線性差分方程。根nnnaaa2212????據(jù)觀察，可以猜測(cè)具有指數(shù)形式。不妨設(shè)為進(jìn)行嘗試。nanna??將代入差分方程：n?nnnaaa2212????得到nnn???2212????消去因