隨機(jī)變量及數(shù)字特征

1、第十一章 隨機(jī)變量與數(shù)字特征,一、隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量及其概率分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布四、數(shù)字特征,一、隨機(jī)變量的概念,在隨機(jī)試驗(yàn)中，由于隨機(jī)因素的作用，試驗(yàn)的結(jié)果有多個（甚至是無窮多個） 。,如果對于試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果（也就是一個樣本點(diǎn) ?） ，都讓其對應(yīng)著一個實(shí)數(shù) X，,這樣 X 是一個隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的變量，稱它為隨機(jī)變量。,隨機(jī)變量一般用希臘字母 ?、?、? ···

2、;或大寫拉丁字母 X、Y、Z··· 等表示。,例1 從0，1，2，······，9 十個數(shù)字中任取一個。,用 X 表示取得的數(shù)字,,X所有可能取的值為：,0，1，2，3，······，9,X 就是一個隨機(jī)變量。,X 的所有可能取值為：,0,, 1,, 2,, ·

3、3;·, k , ···,X是一個隨機(jī)變量。,例2 一個局域網(wǎng)中在一小時內(nèi)上網(wǎng)的人數(shù)X。,例3 用 X 表示電腦的使用壽命,其可能的取值為 [0 , +?),X 是一個隨機(jī)變量，,二、離散型隨機(jī)變量,如果一個隨機(jī)變量的所有可能的取值只有有限個或雖有無窮多個可能的值，但這些值可以無遺漏地一個接一個地排列出來（即可列的），則稱隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.,如例1、例2 中的隨機(jī)變量X都是離散型

4、隨機(jī)變量。,例3 中的隨機(jī)變量X就不是離散型隨機(jī)變量。,1、離散型隨機(jī)變量及其分布律,對離散型隨機(jī)變量，首先列出它的所有可能取的值 xi ，其次要分別求出以怎樣的概率取其中的每一個數(shù)。,稱 為 X 的概率分布,簡稱分布律，一般用下表表示,滿足如下兩個性質(zhì)：,例1 設(shè)已知離散型隨機(jī)變量 ? 的概率分布為：,求其中的常數(shù) a .

5、,解：,解得 a = 0.6 , a = -0.9,（舍去）,例2 重復(fù)獨(dú)立地拋擲一顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4向上為止， 求拋擲次數(shù) X 的分布律。,解：,···,1,2,3,…,k,…,…,例 3 拋擲一枚勻稱的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 X 。（1）.求 X 的分布律；（2）.求“點(diǎn)數(shù)不小于3”的概率；（3）求“點(diǎn)數(shù)不超過3”的概率.,解： （1）,1,2,4,3,5,6,（2）,例 3 拋

6、擲一枚勻稱的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為 X 。（3）求“點(diǎn)數(shù)不超過3”的概率；,（3）,1,2,4,3,5,6,P1041；2（1）,2、幾種常用的離散型分布,設(shè)事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p,用 X 表示在 n 次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則,（1）、二項(xiàng)分布,若一個隨機(jī)變量 X 的概率分布律是：,稱這樣的隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布,,記為X ?B(n , p),用 X表示 n 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)，則 X 服從

7、二項(xiàng)分布 B( n , p)，其中 p 是事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率。,例4 醫(yī)生對 5 人作某疫苗接種試驗(yàn)，已知對試驗(yàn)呈陽性的概率為 p=0.45，且各人的反應(yīng)相互獨(dú)立，若以 X 記反應(yīng)為陽性的人數(shù)。（1）寫出 X 的分布律；（2）求恰有 3 人反應(yīng)為陽性的概率；（3）求至少有 2 人反應(yīng)為陽性的概率。,解,觀察一個人對接種疫苗的反應(yīng)看成是一次試驗(yàn)。,用X表示5次這樣的試驗(yàn)中反應(yīng)為陽性的人數(shù)。,(1),由于 X ? B(

8、5 , 0.45),（2）恰有 3 人反應(yīng)為陽性的概率。,至少有 2 人反應(yīng)為陽性的概率,例4 （3）求至少有 2 人反應(yīng)為陽性的概率。,X ? B(5 , 0.45),(2)、泊松分布,若隨機(jī)變量 X 的概率分布為：,稱 X 服從泊松分布，記為 X ～ P(?),例5 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)是 ? 的泊松分布，且已知 ，求

9、 。,解：,由于 X～P(?)，,且,則,解得 ?=2,所以,解：,由于 X～P(10)，,所求概率為,P10514,三、連續(xù)型隨機(jī)變量,若隨機(jī)變量 X ，存在非負(fù)函數(shù) f (x) ，有,1、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布密度,則稱 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱函數(shù) f (x) 為 X 的概率密度函數(shù) ，簡稱概率密度或密度函數(shù)。,密度函數(shù) f (x) 的性質(zhì)：,概率的計算,,,作為連續(xù)型隨機(jī)變量 X 注意如下特性：,例1

10、設(shè)隨機(jī)變量 X 有概率密度,則稱 X 服從區(qū)間[a，b ]上的均勻分布（常用分布），試求常數(shù)A。,解 由密度函數(shù)的性質(zhì)可得：,例2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為,求（1）.系數(shù) A ；（2）. P(-2< X <3),解（1）,（2）,P1141;7(機(jī)),2、正態(tài)分布,若隨機(jī)變量 X 的概率密度為：,則稱隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，記為 X ~N( ?，?2 ),特別地，若隨機(jī)變量 X 的概率密度為,則

11、稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 X ~N( 0，1 ),,例3 設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N(3 , 42) ，求：,解 （1）,例3 設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N(3 , 42) ，求：,P11510(機(jī)),四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征,1、數(shù)學(xué)期望,例 設(shè)有10個學(xué)生的某考試成績分別是66，76，80，92， 80，52，80，76，80，92。則他們的平均成績?yōu)椋?（1）、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,現(xiàn)在我們把每一個同學(xué)的成績

12、分別寫在10個相同的球上，這樣就得到10個帶有數(shù)字的球。,我們做隨機(jī)試驗(yàn)：在這10個寫有數(shù)字的球中，隨機(jī)地任取一個球，用X表示所取得的球上的數(shù)字，則 X是一個離散型隨機(jī)變量。,由數(shù)據(jù) 66，76，80，92，80，52，80，76，80，92,觀察：,且X是個離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為：,52,66,76,80,92,平均成績?yōu)椋?設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的概率分布為：,定義：離散型隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望,EX 就是 X 的平均

13、值,例1：離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布是：,求它的數(shù)學(xué)期望EX.,解：,XP,例2：設(shè)想有這樣一種博彩游戲，博彩者將本金 1 元壓注在 1 到 6 的某個數(shù)字上，然后擲三顆骰子，若所壓的數(shù)字出現(xiàn) n 次（n=1，2，3），則博彩者贏 n 元，否則沒收 1 元本金，試問這樣的游戲規(guī)則對博彩者是否公平？,解：設(shè) 1 元本金所帶來的贏利為 X 元，,則 X 的分布為：,-1,1,2,3,平均贏利為 EX,（2）、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

14、,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為,定義：連續(xù)型隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望,EX 就是 X 的平均值,例3：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度是,（2）. 求 X 落在（-1，1）內(nèi)的概率；,（3）. 求 X 的數(shù)學(xué)期望E(X) 。,（1）. 求常數(shù)C；,解：,由概率密度函數(shù)與概率的關(guān)系可得：,例3：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度是,（2）.求 X 落在（-1，1）內(nèi)的概率；,由數(shù)學(xué)期望的定義可知：,例3：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度是

15、,（3）.求 X的數(shù)學(xué)期望 E(X) 。,設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布,其數(shù)學(xué)期望,P1231(第一問)7(1),（3）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),性質(zhì)1、E(C)=C,性質(zhì)2、E(aX+b)=aE(X)+b,例4 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為,求 E(X)，E(3X+2).,解,P1231(第3問),2、方差,（1）定義：設(shè) X 是一個隨機(jī)變量，若 E[X-E(X)]2 存在，則稱 E[X-E(X)]2 為 X 的方差，記為 D(X)。,