尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓的方法

1、尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓的方法尺規(guī)作圖五點(diǎn)定橢圓的方法徐文平（東南大學(xué)南京210096）摘要：摘要：已知橢圓上五點(diǎn)，通過(guò)確定橢圓圓心、橢圓主軸方向和橢圓長(zhǎng)軸短軸位置等三個(gè)步驟，尺規(guī)作圖完成橢圓作圖。橢圓在開(kāi)普勒行星運(yùn)行三定律中扮演了重要角色，在機(jī)械制圖和土木工程領(lǐng)域中也有重要運(yùn)用。利用幾何畫(huà)板和cad軟件，依據(jù)任意五個(gè)點(diǎn)的橢圓尺規(guī)作圖，具有重要意義。一、引言一、引言在幾何畫(huà)板和cad軟件中，任意五個(gè)點(diǎn)作橢圓，具有意義。五點(diǎn)定橢圓在衛(wèi)星軌道，機(jī)

2、械制圖和土木工程中是有重要用途。第一步，通過(guò)五點(diǎn)尋找橢圓圓心第二步，確定橢圓坐標(biāo)x、y主軸方向第三步、確定橢圓的長(zhǎng)軸a和短軸b1）大狗熊定理）大狗熊定理1：二次圓錐曲線(xiàn)內(nèi)接四邊形的對(duì)邊延伸線(xiàn)兩交點(diǎn)調(diào)和分割對(duì)角線(xiàn)兩極點(diǎn)。如圖1，橢圓內(nèi)接四邊形KLMN，對(duì)邊線(xiàn)KN與LM交于A，對(duì)邊線(xiàn)KL與NM交于B，對(duì)角線(xiàn)KM的極點(diǎn)為C，對(duì)角線(xiàn)LN的極點(diǎn)為D，KM與LN交于Q點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共線(xiàn)，且AB調(diào)和分割CD，即1AC1AD＝2AB。雙曲線(xiàn)和

3、拋物線(xiàn)也具有同樣性質(zhì)。2）命題）命題1：已知橢圓的斜向割線(xiàn)AB，作一條過(guò)橢圓圓心O點(diǎn)的任意割線(xiàn)JK，JA、BK交于E點(diǎn)，JB、AK交于F點(diǎn)，確定EF的中點(diǎn)N點(diǎn)，連線(xiàn)NA、NB就是橢圓的切線(xiàn)。證明：證明：由于割線(xiàn)JK的切線(xiàn)交點(diǎn)極點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)，利用定理1，可以快速證明這個(gè)命題。圖5命題命題4：已知橢圓上P、H、G、Q、A五點(diǎn)，利用橢圓內(nèi)接四邊形PQGH確定對(duì)角線(xiàn)PQ和GH交叉點(diǎn)T，可繪制極點(diǎn)T的極線(xiàn)EF，利用橢圓內(nèi)接四邊形PQAB(H)確定對(duì)

4、角線(xiàn)PQ和AB(H)交叉S點(diǎn)（利用帕斯卡定理，新構(gòu)造橢圓第六點(diǎn)B點(diǎn)，替換H點(diǎn)），繪制極點(diǎn)S的極線(xiàn)MN，極線(xiàn)MN和極線(xiàn)EF交于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為PQ割線(xiàn)的極點(diǎn)。證明：證明：依據(jù)極點(diǎn)極線(xiàn)的對(duì)偶定理，由于S、T為PQ極線(xiàn)上的二點(diǎn)，可可知S、T極點(diǎn)的極線(xiàn)MN和極線(xiàn)EF相交于C點(diǎn)就是PQ的極點(diǎn)，連線(xiàn)PC、QC就是橢圓的切線(xiàn)。（該方法也適合于雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的情況）問(wèn)題問(wèn)題2：橢圓上五點(diǎn)有時(shí)候似乎不夠啊，如何構(gòu)造橢圓上的臨時(shí)第六點(diǎn)啊。命題命題5：運(yùn)用帕斯

5、卡原理，通過(guò)橢圓上五點(diǎn)，可以增加橢圓上一點(diǎn)。Pal’s定理為通過(guò)五點(diǎn)作圓錐曲線(xiàn)提供了一種優(yōu)美的解決方案。設(shè)已給12345五點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上（特例將在后面討論），但五點(diǎn)的平面位置為任意。我們將這五點(diǎn)依次相連，并設(shè)線(xiàn)段12與45的交點(diǎn)為L(zhǎng)。為了構(gòu)作圓錐曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，如點(diǎn)6，我們通過(guò)點(diǎn)1任意作一直線(xiàn)a，設(shè)a與線(xiàn)段34交于點(diǎn)N，再通過(guò)L和N作直線(xiàn)b，設(shè)b與a交于M，圖743；再通過(guò)5和M作直線(xiàn)c，則c與a的交點(diǎn)就是期望的第六點(diǎn)