點(diǎn)列極限

1、第三章第三章點(diǎn)列極限點(diǎn)列極限極限是數(shù)學(xué)分析的最重要的工具，數(shù)學(xué)中很多重要的概念和方法都和極限有關(guān)，并且在實(shí)際問題中極限也占有重要的地位。第一節(jié)第一節(jié)數(shù)列極限的概念數(shù)列極限的概念所謂極限，簡單的說就是研究當(dāng)自變量變化時(shí)，函數(shù)隨之變化的趨勢(shì)問題我們首先討論數(shù)列極限。一數(shù)列極限的定義與幾何意義數(shù)列極限的定義與幾何意義一列無窮多個(gè)數(shù)??321naaaa按次序一個(gè)接一個(gè)的排列下去，就構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。這個(gè)數(shù)列中，第一個(gè)數(shù)是，第二個(gè)數(shù)1a是，…，第n個(gè)

2、數(shù)是，等等，或者說這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)是，我們記這個(gè)數(shù)列為2anana。要注意，打了花括號(hào)后就表示一個(gè)數(shù)列，而不是一個(gè)數(shù)。??na??na另外，我們也可以把數(shù)列看成是以自然數(shù)為自變量的函數(shù)，記作，即??nfan?。??????1nff下面是一些簡單的數(shù)列的例子：（1），即??????n21??21614121n（2），即???????nn12??1237253nn?（3）即????n11??????11020n??（4）即??n3??327

3、93n考察當(dāng)自變量無限增大時(shí)，通項(xiàng)的變化趨勢(shì)。不難看出，上面數(shù)列（1）和（2）nna中，通項(xiàng)無限趨向于某個(gè)確定的數(shù)；而數(shù)列（3）與（4）中，通項(xiàng)不趨向于某個(gè)確nana定的數(shù)。一般情況下，設(shè)數(shù)列，當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，如果通項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)，??nannac可見，任給，存在，當(dāng)時(shí)，有成立，即0??NNn?????110110nn。110110lim????nnn這里，記號(hào)max是maximum的縮寫。表示n個(gè)數(shù)中??naaamax21?n

4、aaa21?最大的數(shù)，如。同樣，min是minimum的縮寫。??85.285max??表示n個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，如。??naaamin21?naaa21???12.712min?在介紹數(shù)列極限的幾何意義之前，我們先了解鄰域的概念。定義定義3.23.2設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，滿足不等式的實(shí)數(shù)的全體0x?0?????0xx稱為點(diǎn)的鄰域。0x?顯然，點(diǎn)的鄰域即表示以點(diǎn)為中心，為半徑的開區(qū)間（圖0x?0x???????00xx31）。圖31數(shù)列極限的

5、幾何意義：指的是（正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，有，即cann???limN???0?Nn????can。??????cacn如果將數(shù)列各項(xiàng)的值以及極限值都用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，那么在幾何naccann???lim上表示了當(dāng)?shù)囊磺?，即點(diǎn)都落在點(diǎn)的鄰域之內(nèi)，而在鄰域之Nn?na?21??NNaac?外至多只有個(gè)點(diǎn)。N例3.2設(shè)實(shí)數(shù)列滿足，證明??na??0lim2?????nnnaa0lim1?????naannn證明令，那么1???nnnaab1211