正十七邊形尺規(guī)作圖

1、步驟一：給一圓O，作兩垂直的半徑OA、OB，作C點使OC＝14OB，作D點使∠OCD＝14∠OCA，作AO延長線上E點使得∠DCE＝45度。步驟二：作AE中點M，并以M為圓心作一圓過A點，此圓交OB于F點，再以D為圓心，作一圓過F點，此圓交直線OA于G4和G6兩點。步驟三：過G4作OA垂直線交圓O于P4，過G6作OA垂直線交圓O于P6，則以圓O為基準圓，A為正十七邊形之第一頂點P4為第四頂點，P6為第六頂點。連接P4P6，以12弧P4P

2、6為半徑，在圓上不斷截取，即可在此圓上截出正十七邊形的所有頂點。歷史最早的十七邊形畫法創(chuàng)造人為高斯。高斯(1777~1855年)，德國數(shù)學家、物理學家和天文學家。在童年時代就表現(xiàn)出非凡的數(shù)學天才。三歲學會算術，八歲因發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和公式而深得老師和同學的欽佩。1799年以代數(shù)基本定理的四個漂亮證明獲得博士學位。高斯的數(shù)學成就遍及各個領域，其中許多都有著劃時代的意義。同時，高斯在天文學、大地測量學和磁學的研究中也都有杰出的貢獻。1801年

3、，高斯證明：如果k是質(zhì)數(shù)的費馬數(shù)，那么就可以用直尺和圓規(guī)將圓周k等分。高斯本人就是根據(jù)這個定理作出了正十七邊形，解決了兩千年來懸而未決的難題。道理當時，如果高斯的老師告訴了高斯這是道2000多年沒人解答出來的題目，高斯就不會畫出這個正十七邊形。這說明了你不怕困難，困難就會被攻克，當你懼怕困難，你就不會勝利。正十七邊形的證明方法正十七邊形的尺規(guī)作圖存在之證明:設正17邊形中心角為a則17a=360度即16a=360度a故sin16a=si

4、na而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a因sina不等于0兩邊除之有:16cosacos2acos4acos8a=1又由2cosacos2a=cosacos3a等有2(cosacos2a…cos8a)=1注意到cos15a=cos2acos12a=cos5a令x=cosacos2acos4acos8№ay=cos3acos5acos6acos7a有:

5、xy=12又xy=(cosacos2acos4acos8a)(cos3acos5acos6acos7a)=12(cos2acos4acos4acos6a…cosacos15a)經(jīng)計算知xy=1又有x=(1根號17)4y=(1根號17)4其次再設:x1=cosacos4ax2=cos2acos8ay1=cos3acos5ay2=cos6acos7a故有x1x2=(1根號17)4y1y2=(1根號17)4最后由cosacos4a=x1cos