正十七邊形尺規(guī)作圖與詳解

1、解讀解讀“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”高斯正十七邊形的作法高斯正十七邊形的作法一、高斯的傳奇故事一、高斯的傳奇故事高斯(CarlFriedrichGauss1777.4.30~1855.2.23），德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家。有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工廠工頭的父親計(jì)算工人們的周薪。父親算了好一會(huì)兒，終于將結(jié)果算出來(lái)了?？墒侨f(wàn)萬(wàn)沒(méi)想到，他身邊傳來(lái)幼嫩的童音說(shuō)：“爸爸，你算錯(cuò)了，總數(shù)應(yīng)該是……”父親感到很驚異，趕忙再算一遍，結(jié)果證實(shí)高斯

2、的答案是對(duì)的。這時(shí)的高斯只有3歲！高斯上小學(xué)了，教他們數(shù)學(xué)的老師布特勒(Buttner)是一個(gè)態(tài)度惡劣的人，他講課時(shí)從不考慮學(xué)生的接受能力，有時(shí)還用鞭子懲罰學(xué)生。有一天，布德勒讓全班學(xué)生計(jì)算12345……9899100＝？的總和，并且威脅說(shuō)：“誰(shuí)算不出來(lái)，就不準(zhǔn)回家吃飯！”布德勒說(shuō)完，就坐在一旁獨(dú)自看起小說(shuō)來(lái)，因?yàn)樗J(rèn)為，做這樣一道題目是需要些時(shí)間的。小朋友們開(kāi)始計(jì)算：“12＝3，33＝6，64＝10，……”數(shù)越來(lái)越大，計(jì)算越來(lái)越困難。

3、但是不久，高斯就拿著寫(xiě)著解答的小石板走到布德勒的身邊。高斯說(shuō)：“老師，我做完了，你看對(duì)不對(duì)？“做完了？這么快就做完了？肯定是胡亂做的！”布德勒連頭都沒(méi)抬，揮揮手說(shuō)：“錯(cuò)了，錯(cuò)了！回去再算！”高斯站著不走，把小石板往前伸了伸說(shuō)：“我這個(gè)答案是對(duì)的?！辈嫉吕仗ь^一看，大吃一驚。小石板上寫(xiě)著5050，一點(diǎn)也沒(méi)有錯(cuò)！高斯的算法是1＋2＋3＋……＋98＋99＋100100＋99＋98＋……＋3＋2＋1101＋101＋101＋……＋101＋101＋

4、101＝101100＝10100101002＝5050高斯并不知道，他用的這種方法，其實(shí)就是古代數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力才找出來(lái)的求等差數(shù)列和的方法，那時(shí)他才八歲！設(shè)正17邊形中心角為α，則17α＝2π，即16α＝2π－α故sin16α＝－sinα，而sin16α＝2sin8αcos8α＝4sin4αcos4αcos8α＝8sin2αcos2αcos4αcos8α＝16sinαcosαcos2αcos4αcos8α因sinα≠0，兩邊除以si

5、nα，有16cosαcos2αcos4αcos8α＝－1由積化和差公式，得4(cosα＋cos3α)(cos4α＋cos12α)＝－1展開(kāi)，得4(cosαcos4α＋cosαcos12α＋cos3αcos4α＋cos3αcos12α)＝－1再由積化和差公式，得2[(cos3α＋cos5α)＋(cos11＋cos13α)＋(cosα＋cos7α)＋(cos9α＋cos15α)]＝－1注意到cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α

6、，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，有2(cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α)＝－1設(shè)a＝2(cosαcos2αcos4αcos8α)，b＝2(cos3αcos5αcos6αcos7α)，則a＋b＝－1又ab＝2(cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α)2(cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α)＝4cosα(cos3α＋cos5α＋cos6α＋co