數(shù)值分析第2章插值與擬合

1、插值法,插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前的隋唐時期定制歷法時就廣泛應(yīng)用了二次插值。劉焯將等距節(jié)點的二次插值應(yīng)用于天文計算。插值理論卻是在17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來的，Newton插值公式理論是當(dāng)時的重要成果。由于計算機的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實踐上都得到進一步發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用。,第二章 插值與擬合,§2.1 引言§2.2 拉格朗日插值§2.3

2、 均差與牛頓插值公式§2.4 差分與等距節(jié)點插值§2.5 埃爾米特(Hermite)插值與分段插值§2.6 曲線擬合,,§2.1 引言 問題的提出函數(shù)解析式未知,通過實驗觀測得到的一組數(shù)據(jù), 即在某個區(qū)間[a, b]上給出一系列點的函數(shù)值 yi= f(xi)或者給出函數(shù)表,,y=f(x),y=p(x),插值法的基本原理設(shè)函數(shù) y=f(x) 定義在區(qū)間[a, b]上,

3、 是[a, b]上取定的n+1個互異節(jié)點,且在這些點處的函數(shù)值 為已知 ,即 若存在一個f(x)的近似函數(shù) ,滿足則稱 為f(x)的一個插值函數(shù), f(x)為被插函數(shù), 點xi為插值節(jié)點, 稱(2.1)式為插值條件, 而誤差函數(shù)R(x)= 稱為插值余項, 區(qū)間[a, b]稱為插值區(qū)間, 插值點在

4、插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插, 否則稱外插,(2.1),插值函數(shù) 在n+1 個互異插值節(jié)點 (i=0,1,…,n )處與 相等,在其它點x就用 的值作為f(x) 的近似值。這一過程稱為插值，點x稱為插值點。換句話說, 插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點的函數(shù)值。用 的值作為f(x)的近似值,不僅希望 能較好地逼近 f(x),而且還希望它計算簡單 。,由于代數(shù)多項式具有數(shù)值計算

5、和理論分析方便的優(yōu)點。所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個次數(shù)不超過n次的多項式。,滿足,則稱P(x)為f(x)的n次插值多項式。這種插值法通常稱為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示,定理1 n次代數(shù)插值問題的解是存在且惟一的,證明: 設(shè)n次多項式,是函數(shù) 在區(qū)間[a, b]上的n+1個互異的節(jié)點 (i=0,1,2,…,n )上的插值多項式,則求插值多項式P(x)的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù) (i=0,1,2,…,n )

6、。,由插值條件: (i=0,1,2,…,n),可得,這是一個關(guān)于待定參數(shù) 的n+1階線性方程組,其系數(shù)矩陣行列式為,為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（當(dāng)i≠j），故V≠0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆（Gramer）法則，方程組的解 存在惟一，從而P(x)被惟一確定。,,惟一性說明，不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種形式來表示插值多項式,只要滿足插值條件(2.1)

7、其結(jié)果都是相互恒等的。,§2.2 拉格朗日（Lagrange）插值 為了構(gòu)造滿足插值條件 (i=0,1,2,…,n )的便于使用的插值多項式 L(x),先考察幾種簡單情形,然后再推廣到一般形式。（ 線性插值與拋物插值）（1）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個互異的點的值，現(xiàn)要求用線性函數(shù)

8、 近似地代替 f(x)。選擇參數(shù)a和b, 使 。稱這樣的線性函數(shù)L1(x) 為 f(x) 的線性插值函數(shù) 。,線性插值的幾何意義:用通過點 和 的直線近似地代替曲線 y=f(x)由解析幾何知道,這條直線用點斜式表示為,,為了便于推廣，記,這是一次函數(shù),且有性質(zhì),與 稱為線性插值基函數(shù)。且有,于是線性

9、插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合,例2.1 已知 求,解: 這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用線性插值,（2）拋物插值 拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個互異點x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項式使?jié)M足二次插值條件：這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)

10、過3個點 的拋物線 近似代替曲線 , 如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。,L2(x)的參數(shù)直接由插值條件決定，即 滿足下面的代數(shù)方程組：,,該三元一次方程組的系數(shù)矩陣,的行列式是范德蒙行列式，當(dāng) 時，方程組的解唯一。,為了與下一節(jié)的Lagran

11、ge插值公式比較,仿線性插值,用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個特殊的二次插值問題： 求二次式 ,使其滿足條件：,這個問題容易求解。由上式的后兩個條件知: 是 的兩個零點。于是,再由另一條件 確定系數(shù),從而導(dǎo)出,類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項式,及滿足條件： 的插值多項式,這樣構(gòu)造出來的 稱為拋物插值

12、的基函數(shù),取已知數(shù)據(jù) 作為線性組合系數(shù),將基函數(shù) 線性組合可得,容易看出,P(x)滿足條件,2.2.1 拉格朗日插值多項式 兩個插值點可求出一次插值多項式,而三個插值點可求出二次插值多項式。插值點增加到n+1個時,也就是通過n+1個不同的已知點 ,來構(gòu)造一個次數(shù)為n的代數(shù)多項式Ln(x)。與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個特殊n次多項式 的插值問題

13、,使其在各節(jié)點 上滿足,即,由條件 ( )知, 都是n次 的零點,故可設(shè),稱之為Lagrange插值基函數(shù).,利用拉格朗日基函數(shù),可以構(gòu)造多項式,插值多項式為：,線性插值多項式：n=1,幾何意義：,拋物插值多項式：n=2,插值多項式為：,幾何意義：,例2.2,解：,,,,定理2.1,反證：若不唯一，則除了Pn(x) 外還有另一 n 階多項式 Ln(x) 滿足 Ln

14、(xi) = yi 。,考察 則 Qn 的階數(shù),? n,而 Qn 有 個不同的根,注：若不將多項式次數(shù)限制為 n ，則插值多項式不唯一。,例如 也是一個插值多項式，其中 可以是任意多項式。,例2.3 已知y=

15、f(x)的函數(shù)表 求線性插值多項式, 并計算x=1.5 的值,X 1 3 y 1 2,,,解: 由線性插值多項式公式得,例2.4 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用拋物插值公式, 求,例2.5 求過點(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點插值多項式,解 四個點可構(gòu)造三次Lagrange插值

16、多項式:基函數(shù)為,Lagrange插值多項式為,為便于上機計算,常將拉格朗日插值多項式(2.2)改寫成,Lagrange插值法的流程圖,,,,,,,,,,,,x0x1 xixi+1 xn-1 xn,,y=f(x),y=Ln(x),a,b,在插值區(qū)間?a, b?上用插值多項式Ln(x)近似代替f(x), 除了在插值節(jié)點xi上沒有誤差

17、外，在其它點上一般是存在誤差的。,若記 R (x) = f(x) - Ln(x) 則 R(x) 就是用 Ln(x) 近似代替 f(x) 時的截斷誤差, 或稱插值余項我們可根據(jù)后面的定理來估計它的大小。,2.2.2 插值多項式的誤差,定理2.2 設(shè)f(x)在?a, b?有n+1階導(dǎo)數(shù)， x0, x1,…, xn 為 ?a, b?上n+1個互異的節(jié)點, Ln(x)為滿足

18、 Ln(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多項式，那么對于任何x ? ?a, b?有 插值余項,其中,a<?<b 且依賴于x,? 插值余項 /* Remainder */,Rolle’s Theorem: 若 充分光滑， ，則存在

19、 使得 。,推廣：若,,使得,,Rn(x) 至少有 個根,n+1,?(t)有 n+2 個不同的根 x0 … xn x,,注意這里是對 t 求導(dǎo),,,,注：? 若記 ，則插值余項為,?當(dāng) f(x) 為任一個次數(shù)? n 的多項式時， , 可知 ，即插

20、值多項式對于次數(shù)? n 的多項式是精確的。(若是代數(shù)插值,其插值函數(shù)就是f(x) ),定義：,當(dāng)點x位于基本插值區(qū)間內(nèi)時,插值過程稱為內(nèi)插,否則稱為外推.,? 通常不能確定 ? , 而是估計 , ?x?(a,b) 于是將 作為誤差估計上限。,外推比內(nèi)插效果差。,對于線性插值，其誤差為對于拋物插值（二次插值），其

21、誤差為,,例2.7 已知 =100, =121, 用線性插值估計 在x=115時的截斷誤差,解: 由插值余項公式知,因為,例2.8 已知x0=100, x1=121, x2=144,當(dāng)用拋物插值求 在x=115時的近似值，估計其的截斷誤差,,例2.9 設(shè)f(x)=x4, 用余項定理寫出節(jié)點 -1, 0, 1, 2的三次插值多項式,解: 根據(jù)

22、余項定理,例2.10 已知 sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，分別用一、二次Lagrange插值計算 sin0.3367的值，并估計截斷誤差。,得,由,于是,（2）,得,由,于是,由此可知 稍好于,（3）,因為,,,則,,,解：,,n = 1,分別利用x0, x1 以及 x1, x2 計算,?利用,,這里,而,,?sin 50? = 0.766044

23、4…,外推 的實際誤差 ? ?0.0101,?利用,內(nèi)插 的實際誤差 ? 0.00596,內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的 x 所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。,n = 2,,?sin 50? = 0.7660444…,2次插值的實際誤差 ? 0.00061,高次插值通常優(yōu)于低次插值,但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……,§2.3 均差與牛頓插值多項式 拉格朗日插值多項式結(jié)構(gòu)對稱，使用方便。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這

24、樣要增加一個節(jié)點時，所有的基函數(shù)必須全部重新計算，不具備承襲性，還造成計算量的浪費。這就啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造一種具有承襲性的插值多項式來克服這個缺點，也就是說，每增加一個節(jié)點時，只需增加相應(yīng)的一項即可。這就是牛頓插值多項式。,由線性代數(shù)知,任何一個不高于n次的多項式, 都可以表示成函數(shù),的線性組合, 也就是說, 可以把滿足插值條件p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多項式, 寫成如下形式,其中ak (k=0,1,2,…,n

25、)為待定系數(shù),這種形式的插值多項式稱為Newton插值多項式。我們把它記為Nn(x)即,（2.5）,可見，牛頓插值多項式Nn(x)是插值多項式Pn(x)的另一種表示形式, 與Lagrange多項式相比它不僅克服了“增加一個節(jié)點時整個計算工作重新開始”的缺點, 且可以節(jié)省乘除法運算次數(shù), 同時在Newton插值多項式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計算的其他方面有密切的關(guān)系.,它滿足其中ak (k=0,1,2,…,n)為待定系數(shù)，形

26、如（2.5）的插值多項式稱為牛頓(Newton)插值多項式。,1、差商的定義,稱,為 關(guān)于點 的二階差商。,2.3.1 差商及其性質(zhì),一般，稱,為 于點 的 k 階差商。,2、差商的計算,,例2.12 求 f(x)= x3在節(jié)點 x=0, 2, 3, 5, 6上的各階差商值解: 計算得如下表,這個性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明（用Lagrange插值多項式比較最高項系

27、數(shù)來得到）,性質(zhì)1 函數(shù) f(x) 的 n 階差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可由 函數(shù)值 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的線性組 合表示, 且,差商的性質(zhì),f[x0 , x1]=,f[x1 , x0],f(x1)- f(x0),x1 – x0,,,性質(zhì)2 差商具有對稱性,即在k階差商中 任意交換兩個節(jié)點 和 的

28、次序,其值不變。 例如,性質(zhì)3 k階差商 和k階導(dǎo)數(shù)之間有下 列關(guān)系 這個性質(zhì)可直接用羅爾（Rolle）定理證明,性質(zhì)4 若f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多項式, 則 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m-1 次多項式證：由差商定義,右端分子為 m 次多項式,

29、且當(dāng) x = xk+1 時, 分子為0 ,故分子含有因子 xk+1 – x，與分母相消后，右端為m-1 次多項式。,4.4 .1 差商及其性質(zhì),,性質(zhì)5 若 f(x)是n次多項式, 則f [x, x0, x1 , …, xn ] 恒為0 證： f (x)是n次多項式，則f [x, x0 ]是 n-1次多 項式, f [x, x0, x

30、1 ]是 n-2 次多項式, 依次遞推 … …， f [x, x0, x1 , …, xn-1 ] 是零次多項式，所以 f[x,x0,x1 ,…,xn ]?0,2.3.2 牛頓(Newton)插值多項式,的系數(shù) 可根據(jù)插值條件推

31、出, 即由 有,……,這是關(guān)于 的下三角方程組,可以求得,一般，用數(shù)學(xué)歸納法可證明,所以n次牛頓(Newton)插值公式為,其余項,為牛頓插值多項式的誤差。由插值多項式的存在惟一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項式P(x)與牛頓插值多項式Nn(x)實際上是同一個多項式，

32、僅是同一插值多項式的不同表達形式而已，因此得到牛頓插值多項式的誤差與拉格朗日插值多項式的誤差也完全相等。故有,由,（性質(zhì)3）建起了差商和,導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用導(dǎo)數(shù)代替牛頓插值多項式中的差商，有,可以看出，牛頓插值公式計算方便，增加一個插值點，只要多計算一項，而Nn(x)的各項系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律.,牛頓插值多項式可以寫成：,,f[x0,x](x- x0),= f(x) - f(x0),,f(x),+ f[x0,x](x- x0),=f

33、(x0),f[x1,x0,x](x-x1),=f[x0,x]-f[x1,x0],,f[x0,x],+ f[x1,x0,x](x-x1),= f[x1,x0],,,,f(x),+ (x- x0) f[x1,x0],=f(x0),+ (x- x0) (x-x1) f[x1,x0,x],牛頓插值公式(另一種推導(dǎo)方法）,,f(x)=f(x0)+(x- x0)f[x1,x0]+(x- x0)(x-x1)f[x1,x0,x],,,f[x1,x0,x

34、],= (x-x2) f[x2,x1,x0,x],+f[x2,x1,x0],f(x)=f(x0)+(x- x0)f[x1,x0],+ (x- x0)(x-x1)f[x2,x1,x0] + (x- x0)(x-x1)(x-x2) f[x2,x1,x0,x],,,Nn(x),Rn(x),,如當(dāng)n=1時，f(x) = f(x0) + (x- x0)f[x1,x0] + (x- x0)(x-x1) f[x1,x0,x]Nn(x)= f

35、(x0) + (x- x0)f[x1,x0],其中Nn(x)稱為牛頓插值多項式 Rn(x)稱為牛頓插值余項,,4.4.2 牛頓插值公式,,4.4 .1 差商及其性質(zhì),,例2.13 已知 x=0, 2, 3, 5 對應(yīng)的函數(shù)值為 y=1, 3, 2, 5 , 作三次Newton插值多項式。 xi f(xi) 一階差商 二階差商

36、 三階差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 ∴ 所求的三次Newton插值多項式為,

37、4.4 .1 差商及其性質(zhì),,例2.14 已知 f(x) = x7+ x4+ 3x+ 1 求 f [20, 21, … 27 ] 及 f [20, 21, … 27, 28 ]分析：本題 f(x)是一個多項式, 故應(yīng)利用差商的性質(zhì)解: 由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,,例2.15 利用二次牛頓插值多項式求 ，并估計其誤差,解：作函數(shù) f(x) =,取

38、x0=4, x1=9, x2=6.25 , 建立差商表,f 3(x) =,Rn (x),在區(qū)間[ 4 , 9 ]上，,余式近似 0.5 *10 -2, N2(7) = 2.64848 可舍入為2.65,| f(x)(n+1) | ? Mn+1,由,已知函數(shù)表如下x 10 11 12 13lnx2.3026 2.3979 2.4849 2

39、.5649試分別用牛頓線形插值與二次插值計算ln11.75的近似值，并估計截斷誤差。,課堂作業(yè),已知等距節(jié)點,§2.4 差分與等距節(jié)點插值,1、差分,簡記為,簡記為,高階向前差分,高階向后差分,如,2、高階差分,又如,3、前差與后差的關(guān)系,一般有,則有,,,因此,,,4、差商與差分的關(guān)系,m階向前差商與m階向前差分的關(guān)系,m階向后差商與m階向后差分的關(guān)系,又,所以,,,,,5、差分的計算,,,,,,,,,,,,,6、等距節(jié)

40、點的Newton插值,已知等距節(jié)點,得,令 由Newton插值公式,其中,即,其中 ,公式 稱之為牛頓向前插值公式余項。,,同理可得后插公式,其中 ,公式 稱之為牛頓向后插值公式余項。,,例2.16 計算 f (x) = x3在等

41、距節(jié)點0，1，2，3, 4上的各 階差分值,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,7,19,37,6,12,18,6,6,0,,,解：建立差分表,,= -1+1+0+0.375,= 0.375,例2.17 按下列數(shù)值表用牛頓前插公式求y(-0.5) 的近似值,N3(x),已知函數(shù)表如下 x 0.0 0.2 0.4 0.6 0

42、.8 ex 1.0000 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255(1)    分別構(gòu)造向前差分表與向后差分表;(2)   分別用三點與四點前插公式計算e0.13 的近似值，并估計誤差；(3)   分別用三點與四點后插公式計算e0.72 的近似值，并估計誤差；(4)  構(gòu)造差商表，并分別用三點

43、與四點牛頓基本插值公式計算e0.12 的近似值．,許多實際問題不但要求插值函數(shù)p(x)在插值節(jié)點處與被插函數(shù)f(x)有相同的函數(shù)值p(xi)=f(xi) (i=0,1,2,…,n), 而且要求在有些節(jié)點或全部節(jié)點上與f(x)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等，能滿足這種要求的插值問題就稱為埃爾米特插值(Hermite),2.5 埃爾米特(Hermite)插值與分段插值,埃爾米特(Hermite)插值,求多項式

44、 滿足,則 稱為Hermite插值多項式,因為數(shù)表中有 個已知數(shù)，可確定一個 次多項式。,,定義 已知 n+1個互異點上 的函數(shù)值 和導(dǎo)數(shù)值 ,若存在 一個次數(shù)不超過2n+1的多項式H(x)，滿足 則稱H(x)為f(x)的2n+1次埃爾米特(Hermite)插值多

45、項式,上式給出了2n+2個條件，可惟一確定一個次數(shù)不超過2n+1的多項式H2n+1(x)，采用類似于求Lagrange插值多項式的基函數(shù)方法求埃爾米特(Hermite)插值多項式H2n+1(x),當(dāng) 較大時用待定系數(shù)法求 是困難的,且滿足,其中,且滿足,所以 為Hermite插值多項式。,Kronecker（克羅內(nèi)克）符號,Hermite插值多項式可寫成插

46、值基函數(shù)表示的形式,´,驗證：,令,則,其中,又,則,得,所以,其中,則,所以,令,則,又,由,得,所以,同理：,定理2.3 滿足插值條件 的Hermite插值多項式是惟一的。證: 設(shè) 和 都滿足上述插值條件,令則每個節(jié)點 均為 的二重根,即有2n+2個根，但 是不高于2n+1次的多項式，所以 ，即 惟一性得證。,定

47、理2.4 若f(x)在?a,b?上存在2n+2階導(dǎo)數(shù)，則 2n+1次Hermite插值多項式的余項為,其中,定理的證明可仿照Lagrange插值余項的證明方法請同學(xué)們自行證明,實際中使用最廣泛的是三次Hermite插值多項式,即n=1的情況,余項,例2.18 給定 , 求 并計算,解 x0 = ? 1, x1 = 1,,f (0.5)≈H3(0.

48、5) = 3.5625.,例 2.19 已知,求三次多項式 滿足,解,所以,驗證：,分段插值,高次插值的龍格現(xiàn)象 插值多項式余項公式說明插值節(jié)點越多，一般說來誤差越小，函數(shù)逼近越好，但這也不是絕對的，因為余項的大小既與插值節(jié)點的個數(shù)有關(guān)，也與函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。換句話說，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗検降拇螖?shù)，有可能提高計算結(jié)果的準(zhǔn)確程度，但并非插值多項式的次數(shù)越高越好。當(dāng)插值節(jié)點增多時，不能保證

49、非節(jié)點處的插值精度得到改善，有時反而誤差更大。考察函數(shù),考察函數(shù),右圖給出了的圖像,當(dāng)n增大時, 在兩端會發(fā)出激烈的振蕩,這就是所謂龍格現(xiàn)象。該現(xiàn)象表明,在大范圍內(nèi)使用高次插值,逼近的效果往往是不理想的,,,另外，從舍入誤差來看，高次插值誤差的傳播也較為嚴(yán)重，在一個節(jié)點上產(chǎn)生的舍入誤差會在計算中不斷擴大，并傳播到其它節(jié)點上。因此，次數(shù)太高的高次插值多項式并不實用，因為節(jié)點數(shù)增加時，計算量增大了，但插值函數(shù)

50、的精度并未提高。為克服在區(qū)間上進行高次插值所造成的龍格現(xiàn)象，采用分段插值的方法，將插值區(qū)間分成若干個小的區(qū)間，在每個小區(qū)間進行線性插值，然后相互連接，用連接相鄰節(jié)點的折線逼近被插函數(shù)，這種把插值區(qū)間分段的方法就是分段線性插值法。,1、分段線性插值,記步長,（2）,則稱 為分段線性插值,,在幾何上就是用折線替代曲線,如右圖所示若用插值基函數(shù)表示,則在?a,b?上,其中,顯然， 是分段線性連續(xù)函數(shù)，且

51、 稱Ih(x)為f(x)的分段線性插值函數(shù)。由線性插值的余項估計式知,f(x)在每個子段上有誤差估計式其中,例2.21 已知f(x)在四個節(jié)點上的函數(shù)值如下表所示,,,30 45 60 90,1,求f(x)在區(qū)間?30,90?上的分段連續(xù)線性插值函數(shù)S(x),解 將插值區(qū)間?30,90?分成連續(xù)的三個小區(qū)間 ?30,45?,?45,60?,?60,90?

52、 則S(x)在區(qū)間?30,45?上的線性插值為,S(x)在區(qū)間?45,60?上的線性插值為,S(x)在區(qū)間?60,90?上的線性插值為,將各小區(qū)間的線性插值函數(shù)連接在一起，得,2、分段三次Hermite插值,（2）,為分段三次Hermite插值,插值小結(jié),插值法是實用性很強的方法，它們解決的實際問題雖然各式各樣，但抽象為數(shù)學(xué)問題卻有它的共性，即利用已知的數(shù)據(jù)去尋求某個較為簡單的函數(shù)P(x)來逼近f(x)。插值法給出了尋求這種近似函數(shù)的原

53、則，以及構(gòu)造近似函數(shù)的幾種具體方法。插值法要求近似函數(shù)在已知的數(shù)據(jù)點必須與f(x)完全一致。,引言,什么是最小二乘法,最小二乘法的求解,加權(quán)最小二乘法,2.6 曲線擬合的最小二乘法,實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)是記錄:,1、引言,纖維強度隨拉伸倍數(shù)增加而增加,,并且24個點大致分布在一條直線附近,---------(1),必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所

54、有數(shù)據(jù)點。,一般使用,在回歸分析中稱為殘差,稱為平方誤差。,可以考慮上面平方誤差的最小值，來確定(1)中的待定系數(shù):,2、最小二乘法,仍然定義平方誤差,我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是,---------(2),---------(3),,,,,,由,因此可假設(shè),因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為,二次函數(shù),3、最小二乘法的求法,由多元函數(shù)取極值的必要條件,得,即,---------(4),即,引入記號,定義向量的內(nèi)積,---------(5),-------

55、--(6),顯然內(nèi)積滿足交換律,方程組(4)便可化為,---------(7),將其表示成矩陣形式,-----(8),,并且其系數(shù)矩陣為對稱陣,所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即,根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解,即,是,的最小值,所以,因此,作為一種簡單的情況,,基函數(shù)之間的內(nèi)積為,平方誤差,例1. 回到本節(jié)開始的實例，從散點圖可以看出,纖維強度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系,故可選取線性函數(shù),為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為,建立法方程組

56、,根據(jù)內(nèi)積公式，可得,實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)是記錄:,1、引言,法方程組為,解得,平方誤差為,擬合曲線與散點的關(guān)系如右圖:,例2.,求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解,x=.24 .65 .95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 .10 -.29 .24.56 1,解:,從數(shù)據(jù)的散點

57、圖可以看出,因此假設(shè)擬合函數(shù)與基函數(shù)分別為,6.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589 -49.0086 1002.5,1.6163-2.382726.7728,通過計算,得法方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)項矩陣為,用Gauss列主元消去法,得,-1.0410 -1.2613 0.030735,擬合的平方誤差為,例3.,在某化學(xué)反應(yīng)里,測得生成物濃度

58、y%與時間t的數(shù)據(jù)如下，試建立y關(guān)于t的經(jīng)驗公式,t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60,解:,,具有圖示的圖形的曲線很多，本題特提供兩種形式,兩邊取對數(shù),得,得,即為擬合函數(shù),基函數(shù)為,解法方程組得,,平方

59、誤差為,用最小二乘法得,即,無論從圖形還是從平方誤差考慮,在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好,平方誤差為,從本例看到，擬合曲線的數(shù)學(xué)模型并不是一開始就能選好的，往往要通過分析確定若干模型之后，再經(jīng)過實際計算，才能選到較好的模型。,各點的重要性可能是不一樣的,重度:,即權(quán)重或者密度，統(tǒng)稱為權(quán)系數(shù),定義加權(quán)平方誤差為:,-----(9),4、加權(quán)最小二乘法,使得,由多元函數(shù)取極值的必要條件,得,即,引入記號,定義加權(quán)內(nèi)積,-----(1

60、0),矩陣形式(法方程組)為,方程組(10)式化為,-----(11),---(12),平方誤差為,作為特殊情形,用多項式作擬合函數(shù)的法方程組為,-----(13),,,,對此新的數(shù)據(jù)點作線性擬合,,易得法方程為,,解之得,,給出數(shù)據(jù),練習(xí),,擬合函數(shù),,試確定,,,例2.4 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用拋物插值公式, 求,(x0–x1)(x0–x2),(x–x1)(x–x2),y0,,+,(x1–x0)(x1–x2

61、),(x–x0)(x–x2),,y1,+,(x2–x0)(x2–x1),(x–x0)(x–x1),,y2,L2(7) =,x0=1, x1=4, x2=9,y0=1, y1=2, y2=3,(1–4)(1–9),(7–4)(7–9),* 1,,+,(4–1)(4–9),(7–1)(7–9),,* 2,+,(9–1)(9–4),(7–1)(7–4),,* 3,= 2.7,L2(x) =,解:,例2.5 求過點(0,1)、(1,2)