根軌跡和虛軸的交點

1、1,第二節(jié) 根軌跡繪制的基本法則,2,2、根軌跡的對稱性： 一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實數(shù)，其根必為實根或共軛復(fù)根。即位于復(fù)平面的實軸上或?qū)ΨQ于實軸。,用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點的關(guān)系，根軌跡的特殊點，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對參數(shù) 的180度根軌跡的性質(zhì)。,1、根軌跡的連續(xù)性：

2、閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益 的函數(shù)。當(dāng) 從0到無窮變化時，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。,3,4、根軌跡的起點和終點：,根軌跡方程為：,時為起點， 時為終點。,3、根軌跡的支數(shù)： n階特征方程有n個根。當(dāng) 從0到無窮大變化時，n個根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。,當(dāng) 時，只有

3、 時，上式才能成立。而 是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，所以根軌跡起始于開環(huán)極點。n階系統(tǒng)有n個開環(huán)極點，分別是n支根軌跡的起點。,4,我們稱系統(tǒng)有n-m個無限遠(yuǎn)零點。有限值零點加無窮遠(yuǎn)零點的個數(shù)等于極點數(shù)。,那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠(yuǎn)呢？,當(dāng) 時，① ，上式成立。 是開環(huán)傳遞函數(shù)

4、有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在m個有限零點處。②若n>m，那么剩余的n-m個終點在哪里呢？在無窮遠(yuǎn)處。 由根軌跡方程知：當(dāng) 時,5,5.根軌跡的漸近線：,若開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。,由根軌跡方程可得：,式中 ，,6,當(dāng)

5、Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為,兩邊開n-m次方,利用二項式定理,當(dāng) 時， ，令 ，,7,設(shè)s=x+jy, 利用－1=cos(2k+1)π+j sin(2k+1)π，并根據(jù)德莫弗(De Moive)代數(shù)定理(cosq +j sinq )n= cos(nq )+j sin(nq )，上式可寫為

6、,8,,這是與實軸交點為－s，斜率為 的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為,9,5.根軌跡的漸近線：,漸近線包括兩個內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實軸的交點。,傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點 ，則s平面上所有的開環(huán)有限零點和極點到 的相角都相等，即為漸近線的傾角 。代入根軌跡的相角條件得：,10,幅值條件：,11,12,[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)

7、傳遞函數(shù)為： ，試確定根軌跡支數(shù)，起點和終點。若終點在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實軸的交點和傾角。,漸近線與實軸的交點：,漸近線與實軸的傾角：,零極點分布和漸近線（紅線）如圖所示。,13,6、實軸上的根軌跡：,實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。,[證明]：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點p1、p2，復(fù)平面上有一對共軛極點p3、 p4和一對共軛零

8、點z1、 z2 。,先看試驗點s1點：,所以s1點滿足根軌跡相角條件，于是[－p2 ,－p1]為實軸上的根軌跡。,,②成對出現(xiàn)的共軛零點z1、 z2對實軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；,③試探點左邊的極點p2對試探點構(gòu)成的向量的相角為0°；,④試探點右邊的極點p1對試探點構(gòu)成的向量的相角為180°；,再看s2點：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點。,①成對出現(xiàn)的共軛極點p3、 p4對實

9、軸上任意試探點構(gòu)成的兩個向量的相角之和為0°；,同樣s3點也不是根軌跡上的點。,14,[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實軸上的根軌跡。,[解]：零極點分布如下：,紅線所示為實軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1] 。注意在原點有兩個極點，雙重極點用“ ”表示。,15,7、根軌跡的會合點和分離點：,若干

10、根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。,如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點 出發(fā)的兩支根軌跡，隨著 的增大在實軸上A點相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著 的繼續(xù)增大，又在實軸上B點相遇并分別沿實軸的左右兩方運動。當(dāng) 時，一支根軌跡終止于 另一支走向 。A、B點稱為根軌跡在實軸上的分離點和會合點。,16,7、根軌跡的會合點和

11、分離點：,若干根軌跡在復(fù)平面上某一點相遇后又分開，稱該點為分離點或會合點。,一般說來，若實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點； 如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮遠(yuǎn)零點）之間有根軌跡，則這相鄰零點之間必有會合點。 如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與開環(huán)極點之間，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。,17,[分離點和會合點的求法]：由重根法，求極值法和作

12、圖法等。,①重根法：根軌跡在實軸上的分離點或會合點表示這些點是閉環(huán)特征方程的重根點。,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,即,[分離角]：在分離點或會合點上，根軌跡的切線和實軸的夾角稱為分離角 。 與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)： 。,因閉環(huán)特征方程為：,設(shè) 時，特征方程有重根 ，則必同時滿足,18,由此得：,即：,注意：由上式可求得的點是分離點和會合點必要條件，還

13、需求出這些點對應(yīng)的增益，若增益為大于零的實數(shù)，則所求出的點為分離會合點。,19,②極值法：參見教材p118圖4-11。若以Kg為縱坐標(biāo)，以實軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點和會合點上，Kg具有極值。,即,20,③求分離回合點的另一個公式,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：,因閉環(huán)特征方程為：,即閉環(huán)特征方程為：,重根時還滿足,21,22,實軸上根軌跡區(qū)間是：,注意：分離點和會合點也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對稱于實軸，所以，復(fù)平面上的分離點和會合點

14、必對稱于實軸。,顯然，分離回合點為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點。,閉環(huán)特征方程為：,23,8、根軌跡的出射角和入射角：,當(dāng)開環(huán)零、極點處于復(fù)平面上時，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點的終止角成為入射角。,圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零點。 為共軛極點，現(xiàn)計算 的出射角。設(shè)為 。,在離開 附近的根軌跡上取一點s1,則s1點應(yīng)滿足相角條件

15、：,當(dāng) 時， 即為離開根軌跡上 的出射角， ，則：,24,式中： 為除了 以外的開環(huán)極點到 的矢量的相角； 為開環(huán)零點到 的矢量的相角。,同樣，進(jìn)入復(fù)零點 的根軌跡入射角 為：,式中： 為除了 以外的開環(huán)零點到 的矢量相角； 為各開環(huán)極點到 的矢量相角。,的

16、出射角應(yīng)與 的出射角關(guān)于實軸對稱。,25,,[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的出射角。,[解]：,26,9、根軌跡和虛軸的交點：,根軌跡和虛軸相交時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對共軛虛根。這時的增益 稱為臨界根軌跡增益。,交點和 的求法：,在閉環(huán)特征方程中令 ，然后使特征方程的實、虛部為零即可求出 和 。,由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。,27,方

17、法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：,將 代入得：,[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試求根軌跡與虛軸的交點和 。,當(dāng) 時， 為根軌跡的起點（開環(huán)極點）,當(dāng) 時， ，即根軌跡與虛軸的交點為 。,28,方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定 的值。,勞斯陣列為：

18、,勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。,共軛虛根為輔助方程 的根。,1、令 ，得臨界增益為：,2、令 ，得 （開環(huán)極點）。,29,10、閉環(huán)系統(tǒng)極點之和與之積：,開環(huán)傳遞函數(shù)為：,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： ，即：,(

19、1),設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點為： ，則,(2),30,比較（1）、（2）式得：,當(dāng)n-m>=2時， ，即：,閉環(huán)極點之積為：,根據(jù)上述10個性質(zhì)（或準(zhǔn)則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準(zhǔn)確起見，可以用相角條件試探之。,當(dāng)有為零的開環(huán)極點：,31,根軌跡作圖步驟,,一、標(biāo)注開環(huán)極點和零點，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實軸上的根軌跡；三、

20、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點；六、根軌跡的分離點、會合點； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點和終點，閉環(huán)極點與閉環(huán)極點之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。,32,⒊漸近線,[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,⒋出射角 ，,⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為,解

21、：⒈求出開環(huán)零極點，即：,⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0],將 代入得：,33,⒍求分離會合點：由特征方程,由圖知這兩點并不在根軌跡上，所以并非分離會合點，這也可將 代入得 為復(fù)數(shù)。,34,⒊漸近線,[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,⒋出射角

22、 ，,⒌求與虛軸的交點，此時特征方程為,解：⒈求出開環(huán)零極點，即：,⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0],將 代入得：,35,⒍求分離會合點：由特征方程,由圖知這兩點都在根軌跡上，所以都是分離會合點。,36,⒊漸近線,[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡。,⒋出射角 ，,⒌求與虛軸的交點

23、，此時特征方程為,解：⒈求出開環(huán)零極點，即：,⒉實軸上的根軌跡：(－∞，0],將 代入得： ，,37,⒍求分離會合點：由特征方程,由圖知這點在根軌跡上，所以是分離會合點。而且是三重根點。此時分離角為,38,小結(jié),需掌握繪制根軌跡的十個準(zhǔn)則 根軌跡的連續(xù)性和對稱性； 根軌跡的支數(shù)、起始點和漸進(jìn)線； 根軌跡實軸上的點和根軌跡的分離點，會合點； 根軌跡的出射角、入射角和虛