第十一章電勢

1、第11 章 電勢,§11.1 靜電場的保守性§11.2 電勢差和電勢§11.3 電勢疊加原理§11.4 等勢面§11.5 電勢梯度§11.6 電荷在外電場中的靜電勢能§11.8 靜電場的能量,一. 靜電場是保守場,§11.1 靜電場的保守性,1.點(diǎn)電荷的靜電場：,點(diǎn)電荷q固定于原點(diǎn)O，檢驗(yàn)電荷q0在q的電場中由a點(diǎn)沿

2、任意路徑到達(dá)b點(diǎn)，取微元dl，電場力對q0的元功為,在靜止的點(diǎn)電荷電場中，移動單位正電荷時(shí)，電場力做的功只與試驗(yàn)電荷始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動路徑無關(guān)。,2.任意電荷系的靜電場：,任何靜電場中，電場力作功只與試探電荷的始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動路徑無關(guān)，即靜電力是保守力，靜電場為保守場。,任意帶電體都可以看成由許多點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，根據(jù)疊加原理可知，點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)為各點(diǎn)電荷場強(qiáng)的疊加,任意點(diǎn)電荷系電場中，移動單位電荷時(shí)電場力所作的功為：,二

3、. 靜電場的環(huán)路定理（靜電場是保守場表述二）,在靜電場中，場強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分為零 －－靜電場的環(huán)路定理。,在靜電場中，將試探電荷沿閉合路徑移到一周時(shí)，考慮場強(qiáng)沿閉合路徑的線積分：,電場力作功與路徑無關(guān),§11.2 電勢差和電勢,一. 電勢差,（任意路徑）,靜電場中P1、P2兩點(diǎn)的電勢差，等于將單位正電荷從 P1 點(diǎn)移至 P2點(diǎn)電場力所作的功。,二. 電勢,靜電場中 P 點(diǎn)的電勢，在數(shù)值上等于單位正電荷自

4、P點(diǎn)沿任意路徑移到電勢零點(diǎn)，電場力所做的功。,當(dāng)電荷要分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，則,電勢是標(biāo)量，有正有負(fù)；電勢的單位：伏特 1V=1J.C-1；電勢具有相對意義，它決定于電勢零點(diǎn)的選擇。在理論計(jì)算中，通常選擇無窮遠(yuǎn)處的電勢為零；在實(shí)際工作中，通常選擇地面的電勢為零。但是對于“無限大”或“無限長”的帶電體，只能在有限的范圍內(nèi)選取某點(diǎn)為電勢的零點(diǎn)。,,例：求與靜止的點(diǎn)電荷q的距離為r處的電勢,正電荷的電勢為正，離電荷

5、越遠(yuǎn)，電勢越低；負(fù)電荷的電勢為負(fù)，離電荷越遠(yuǎn)，電勢越高。,例11.1 求均勻帶電球面的電場中的電勢分布。球面半徑為 R ，帶電量為 q (設(shè)q>0 )。,解：,（1）球面外某點(diǎn)的電勢,以無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)。,（2）求球面內(nèi)一點(diǎn)的電勢,例11.2 求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。已知線電荷密度為 ? 。,解：,無限長均勻帶電直線周圍的場強(qiáng),以距帶電直線為r0的P0點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。,距帶電直線為r的P點(diǎn)的電勢為,式中C為與電

6、勢零點(diǎn)的位置有關(guān)的常數(shù)。,§11.3 電勢疊加原理,一. 電勢疊加原理,一個點(diǎn)電荷系的電場中某一點(diǎn)的電勢，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和——靜電場的電勢疊加原理。,（電勢疊加原理）,二. 電勢的計(jì)算,1、運(yùn)用點(diǎn)電荷電勢公式和電勢疊加原理計(jì)算電勢,點(diǎn)電荷的電勢：,,,電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢,點(diǎn)電荷系的電勢,例11.3 求電偶極子的電場中的電勢分布。已知電偶極子中兩點(diǎn)電荷-q，+q間的距離為l。,

7、解：,以無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)。,當(dāng) r>>l 時(shí)，,例11.4 一半徑為 R 的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電量為q ，求在圓環(huán)軸線上任意點(diǎn) P 的電勢。,解：,以無限遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)。,補(bǔ)例：均勻帶電圓板，半徑為 R ，電荷面密度為 ? 。求軸線上任一點(diǎn) P 的電勢。,解：,x,當(dāng)x>>R時(shí),把圓盤當(dāng)作一個點(diǎn)電荷,2、運(yùn)用高斯定理和電勢的定義計(jì)算電勢：,2）通過電場強(qiáng)度的積分計(jì)算電勢：,1）運(yùn)用高斯定律

8、 確定電場的分布：,補(bǔ)例：半徑為 R 的均勻帶電球體，帶電量為 q ， 求電勢分布。,解：,1、等勢面的概念,靜電場中，電勢相等的點(diǎn)所組成的曲面：,常用一組等勢面描述靜電場，并規(guī)定相鄰兩等勢面之間的電勢差相等。,2、等勢面與電場線的關(guān)系,1) 等勢面與電場線處處正交；,3) 電場線指向電勢降低的方向；,§11.4 等勢面,2) 兩等勢面相距較近處場強(qiáng)數(shù)值大，相距較遠(yuǎn)處場強(qiáng)數(shù)值小。,&#

9、167;12.3 電勢疊加原理,點(diǎn)電荷的電場線與等勢面,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,電偶極子的電場線與等勢面,§12.3 電勢疊加原理,§12.3 電勢疊加原理,,,對于導(dǎo)體內(nèi)部的任何兩點(diǎn)A和B,對于導(dǎo)體表面上的兩點(diǎn)A和B,導(dǎo)體的電勢,例11.6　兩個半徑分別為R和r 的球形導(dǎo)體（R>r），用一根很長的細(xì)導(dǎo)線連接起來（如圖），使這個導(dǎo)體組

10、帶電，電勢為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關(guān)系。設(shè)導(dǎo)線足夠長而兩球相隔足夠遠(yuǎn)。,導(dǎo)體上的電荷分布,解:　兩個導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時(shí)有一定的電勢值。設(shè)這兩個球相距很遠(yuǎn)，使每個球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場可忽略不計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個球又可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為,導(dǎo)體上的電荷分布,孤立導(dǎo)

11、體是指其它導(dǎo)體或帶電體都離它足夠遠(yuǎn)，以至于其它導(dǎo)體或帶電體對它的影響可以忽略不計(jì)。,可見大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。,兩球的電荷密度分別為,可見電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ蚯视螅姾擅婷芏扔?。,,導(dǎo)體上的電荷分布,例11.7 一個金屬球A，半徑為R1。它的外面套一個同心的金屬球殼B，其內(nèi)外半徑分別為R2和R3。二者帶電后電勢分別為 和 。求此系統(tǒng)的電荷及電場的分布。如果用導(dǎo)線將球和殼連接起

12、來，結(jié)果又將如何？,解:,,聯(lián)立解得:,如果用導(dǎo)線將球和殼連接起來。,,§11.5 電勢梯度,一. 電勢梯度,電場中某一點(diǎn)的場強(qiáng)沿任一方向的分量等于這一點(diǎn)的電勢沿該方向的空間變化率的負(fù)值。,定義電勢梯度：,電勢梯度的大小等于電勢在該點(diǎn)最大空間變化率；方向沿等勢面法向，指向電勢增加最快的方向。,直角坐標(biāo)系：,求 的三種方法,,利用電場強(qiáng)度疊加原理,利用高斯定理,利用電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系,電勢是標(biāo)量，容易計(jì)算?？梢韵扔?jì)算

13、電勢，然后利用場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系計(jì)算電場強(qiáng)度，這樣做的好處是可以避免直接用場強(qiáng)疊加原理計(jì)算電場強(qiáng)度的矢量運(yùn)算的麻煩。,,例11.8 均勻帶電圓環(huán)，帶電量為 q ，半徑為 R 。求軸線上任一點(diǎn) P 的場強(qiáng)。,,,P,x,,,R,x,解：,例11.9 求電偶極子電場中任意一點(diǎn) 的電勢和電場強(qiáng)度.,解,,,,§11.6 電荷在外電場中的靜電勢能,靜電勢能（電勢能）,一個電荷在電場中某點(diǎn)的電勢能等于它的電量與電場中該點(diǎn)電