廣義穿衣方法和代數(shù)曲線方法在孤子系統(tǒng)中的應(yīng)用.pdf

1、本論文主要分為兩部分，其一：利用廣義穿農(nóng)方法，討論了一族可積變系數(shù)非線性Schrodinger方程，可積變系數(shù)Dirac系統(tǒng)及可積變系數(shù)Toda格方程；并得到它們的顯示解和Lax對(duì)。其二：利用代數(shù)曲線方法，研究了高維可積離散系統(tǒng)并得到這些系統(tǒng)的擬周期解。
　　 廣義穿衣方法是戴暉輝教授和Jeffery于上世紀(jì)90年代提出的，它是經(jīng)典穿衣方法的拓展。這種推廣不但構(gòu)建可積變系數(shù)非線性演化方程而且還給出其顯示解和Lax對(duì)。它從一個(gè)積分

2、算子F和兩個(gè)Volterra算子K±出發(fā)，由算子三角因式分解關(guān)系式得到GLM方程，再由穿衣關(guān)系將已知的變系數(shù)算子（M1，M2）變?yōu)樽兿禂?shù)穿衣算子（M1，M2）。從穿衣算子的相容性，得到可積變系數(shù)非線性演化方程。為了獲得這些方程的顯示解，利用初始算子（M1，M2）與算子F的交換性[Mk，F(xiàn)]=0（k=1，2），求得積分核F，最后借助GLM方程求得微分算子K+的核，也即給出已經(jīng)獲得的方程的解。作為應(yīng)用，一方面，借助n階AKNS矩陣非保譜問(wèn)題

3、（n=2，3，N+1，2N+1）和Dirac系統(tǒng)，分別討論了可積變系數(shù)耦合柱狀NLS方程和mKdV方程：可積變系數(shù)耦合的Hirota方程和Manakov方程；一族可積變系數(shù)N-耦合NLS方程和可積變系數(shù)散焦NLS方程。另一方面，把廣義穿衣方法由連續(xù)系統(tǒng)平行推廣到離散系統(tǒng)，成功地討論了可積變系數(shù) Toda格方程。特別的，給出了這些方程的顯示解和Lax對(duì)。
　　 曹策問(wèn)教授于1988年提出了特征值問(wèn)題非線性化方法，并被推廣到求解高維

4、孤子方程的擬周期解，這個(gè)方法是非常有效的，可分為三步來(lái)實(shí)現(xiàn)：即分解、拉直、反演。在本文的第六章利用此方法討論了兩個(gè)離散譜問(wèn)題。其一，提出一個(gè)新的離散譜問(wèn)題，進(jìn)而獲得與之相應(yīng)的一族微分差分方程，有趣的是，給出了一個(gè)新的2+1-維離散導(dǎo)數(shù)NLS方程。在Bargmann約束下，這些孤子方程分解為兩個(gè)相容的常微分方程和一個(gè)可積辛映射。然后引入母函數(shù)方法易證守恒積分的對(duì)合性和獨(dú)立性，進(jìn)而知這些系統(tǒng)是Liouville意義下是可積的。通過(guò)引入橢圓變

5、量和Abel-Jacobi坐標(biāo)，直化連續(xù)流和離散流。最后，借助Riemann-theta函數(shù)和Abel-Jacobi反演，得到孤子方程在原始坐標(biāo)下的代數(shù)幾何解。其二，用類似的方法，給出了一個(gè)新的2+1-維可積離散模型，并得到了豐富的結(jié)果。
　　 耿獻(xiàn)國(guó)教授提出的Lax方程解矩陣的有限階展開(kāi)法，也給出求解多維孤子方程的一個(gè)方法。即利用分解的技術(shù)，將2+1-維離散系統(tǒng)被分解為可解的常微分方程和離散流的演化，借助特征函數(shù)所滿足的Lax

6、方程的解矩陣，合適地引入橢圓變量，再利用代數(shù)幾何知識(shí)，構(gòu)造黎曼曲面。選取黎曼曲面上的Abel-Jacobi坐標(biāo)，將所得有限維可積系統(tǒng)和離散流線性約化（或拉直）。在本文的第五章，利用此方法詳細(xì)討論了兩類半離散系統(tǒng)，其一，半離散Kaup-Newell系統(tǒng)，有趣的是，它的一個(gè)2+1-維離散模型的連續(xù)極限恰是2+1-維Chen-Lee-Liu方程，并獲得了這個(gè)方程的擬周期解。其二，半離散Chen-Lee-Liu系統(tǒng)，借助Lenard梯度序列獲得