常微分算子理論的發(fā)展.pdf

1、常微分算子理論是以量子力學為應(yīng)用背景，綜合常微分方程、泛函分析、算子代數(shù)及空間理論等理論、方法發(fā)展起來的一門系統(tǒng)的、內(nèi)容廣泛的數(shù)學分支．它是解決數(shù)學物理方程以及大量科學技術(shù)應(yīng)用問題的重要數(shù)學工具．常微分算子理論所研究的主要內(nèi)容包括：自共軛域、譜分析、虧指數(shù)及逆譜問題等。本文在查閱了大量的原始文獻和有關(guān)研究文獻的基礎(chǔ)上，利用文獻分析研究與文獻比較研究的方法，從以下幾個方面較系統(tǒng)地研究了常微分算子理論的發(fā)展歷程。
　　 ㈠通過對St

2、urm和Liouville的工作及其它關(guān)于記載這些成果的史料進行分析與研究，從以下幾個方面探尋了常微分算子理論的源流：⑴Sturm和Liouville成果的研究背景；⑵分析Sturm和Liouville的工作；⑶Sturm-Liouville理論的意義；⑷Sturm和Liouville工作的后續(xù)發(fā)展。
　　 ㈡通過對20世紀早期的一些關(guān)于二階奇異邊值問題的文獻進行系統(tǒng)分析與考察，從以下幾個方面論述了Weyl(1910)，Dixo

3、n(1912)，Stone(1932)和Titchmarsh(1940-1950)的工作對常微分算子理論發(fā)展的貢獻．我們發(fā)現(xiàn)Weyl和Titchmarsh的成果基本上源于經(jīng)典的實分析和復分析，而Stone的研究工作是Hilbert函數(shù)空間抽象理論中自共軛算子與線性常微分方程理論結(jié)合的產(chǎn)物。⑴1910年，Weyl不僅開創(chuàng)了奇異S-L微分方程的研究，而且首次考慮了微分方程的分析特征．特別是一些新概念和新成果的提出，使S-L理論在20世紀的發(fā)

4、展步入了一個新的發(fā)展階段，也為后來的von Neumann和Stone在微分算子理論方面的研究以及為Titchmarsh應(yīng)用復變換技巧提供了思想淵源；⑵1912年，Dixon第一次將系數(shù)函數(shù)p，q，w的連續(xù)性條件由Lebesgue可積條件來代替，此Lebesgue可積性條件也是現(xiàn)代微分算子研究中對系數(shù)要求最低的條件；⑶1932年，Stone首次在Hilbert函數(shù)空間上討論具有Lebesgue可積系數(shù)的二階微分算子的一般理論；⑷Titc

5、hmarsh應(yīng)用單個復變量函數(shù)的展開理論研究了正則情形和奇異情形的S-L邊值問題。
　　 ㈢通過分析與研究關(guān)于常微分算子自伴域描述的已有成果，系統(tǒng)地總結(jié)了常型和奇異常微分算子自伴域描述的發(fā)展脈絡(luò)。⑴高階常型微分算子自伴域的描述問題于20世紀50年代徹底解決，1954年Coddington利用矩陣理論和共軛邊條件的有關(guān)結(jié)論，給出了以邊條件形式表示的自伴域，這是一個直接的描述結(jié)果；同年，Naimark給出了擬微分算子自伴域的描述；1

6、962年，Everitt用微分方程的線性獨立解來描述算子的自伴域，在系數(shù)足夠光滑的條件下，這三個結(jié)論是等價的；⑵通過分析奇異微分算子自伴域描述的一些重要成果，比如，Weyl-Titchmarsh自伴域，Everitt自伴域，曹之江-自伴域和孫炯-自伴域，論述了曹之江-自伴域的重要性，它是一種直接而完全的自伴域描述，使得奇異微分算子自伴域描述的問題徹底解決.
　　 ㈣通過分析和考察大量的關(guān)于譜分析方面的文章，主要以離散譜和本質(zhì)譜的