Shorted算子的幾何結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用.pdf

1、算子理論產(chǎn)生于20世紀(jì)初，由于其在數(shù)學(xué)和其它學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，在20世紀(jì)的前三十年得到迅速發(fā)展，近年來Shorted算子與Schur補的研究已成為算子理論研究的熱點問題之一．設(shè)H表示無窮維復(fù)可分Hilbert空間，我們用B(H)<'+>表示H上的所有有界線性正算子全體。設(shè)A∈B(H)<'+>，S是H的一個閉子空間，則算子A關(guān)于S的shorted算子定義為∑(s，A)=max{X ∈B(H)<'+>：X≤A且R(X) S}，這里的最大值是

2、在偏序集(B(H)，≥)中取得的．對于正算子A與子空間S，設(shè)P(A，S)為這里P表示所有冪等算子全體．若集合P(A，S)是非空的則我們稱元素對(A，S)是匹配的。本文研究內(nèi)容涉及Shorted算子的幾何結(jié)構(gòu)、元素對(A，S)的匹配性、正算子的下確界及算子方程的正解問題．在Shorted算子方面，對于給定的A∈B(H)<'+>，S H，得到了∑(S，A)的幾何結(jié)構(gòu)及元素對(A，S)匹配的充要條件．效應(yīng)代數(shù)方面，Hilbert空間上兩個效應(yīng)

3、的下確界問題是確定在何種條件下效應(yīng)A和B∈ε(H)的下確界A∧B存在。本文把兩個效應(yīng)的下確界問題推廣到兩個正算子的下確界問題，對任意的A，B∈B(H)<'+>，得到了下確界A∧B存在的充要條件。在算子方程方面，首先對列算子矩陣的條件下，得到了其Moore-Penrose廣義逆的表達(dá)形式，其次對于無限維Hilbert空間上的算子方程AY=C的正解問題進行了研究，得出了算子方程AX=C有正解的等價條件及正解的通式。 本文共分四章：

4、 第一章主要介紹本文要用到的一些符號、概念及定理，例如正算子譜，Shorted算子，匹配性，下確界等概念；同時又介紹了一些熟知的定理如值域包含定理，譜映射定理等。 第二章我們主要運用算子分塊矩陣的技巧來研究Shorted算子，揭示了任意一個正算子A與它的Shorted算子∑(S，A)的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系。其次，我們刻畫了(A，S)的匹配性，這里A是一個自伴算子，S是H的一個閉子空間；特別地，當(dāng)A是正算子時對集合P(A，5)={Q

5、∈P：R(Q)=s，AQ=Q<'*>A}從算子幾何結(jié)構(gòu)方面給出了詳細(xì)刻畫，這里的P表示Hilbert空間H上所有冪等算子全體，S 表示子空間S在H中的正交補空間。 第三章在無限維Hilbert空間上，利用Shorted算子來研究兩個正算子A，B ∈B(H)<'+>的下確界問題，得到了下確界A∧B存在的充要條件。主要結(jié)論如下： (1)設(shè)A∈B(H)<'+>，P是到閉子空間S上的正交投影，則P∧A存在當(dāng)且僅當(dāng)σ(∑(S，A)

6、) {0}∪[1，||A||]或σ(∑(S，A)) [0，1]。 (2)設(shè)A，B∈B(H)<'+>則正算子A，B的下確界A∧B存在當(dāng)且僅當(dāng)∑(S<,0>，A)與∑(S<,0>，B)是可比較的，這里S<,0>=R(A)∩R(B)。 第四章我們首先研究了列算子矩陣在R(A<,1><'*>)∩R(A<,2><'*>)={0}的條件下的Moore-Penrose逆的表達(dá)形式；然后探討了算子方程AX=C有自伴解和正解的條件，分別得