Schrodinger-Virasoro李代數(shù)與非階化Virasoro-like李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示.pdf

1、無限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示一直是李理論研究的熱點(diǎn)問題之一.本文主要對(duì)幾類無限維李代數(shù)的表示和結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，這幾類無限維李代數(shù)都與理論物理、量子場論及統(tǒng)計(jì)力學(xué)等學(xué)科有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，并與Virasoro代數(shù)密切相關(guān).本文主要分以下幾部分： 第一部分：主要研究了一類無限維非階化Virasoro-like李代數(shù)L的表示。這類李代數(shù)(無中心擴(kuò)張的情況)是在上世紀(jì)八十年代作為擬多項(xiàng)式環(huán)的一階微分算子代數(shù)被引入的[1]，九十年代在理論物理

2、的廣義對(duì)稱性研究中產(chǎn)生了同樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)[2].由于菲階化李代數(shù)本身結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得對(duì)它們的結(jié)構(gòu)和表示的研究變得比階化的情形要困難和復(fù)雜很多.我們首先證明了在一定條件下L的不可約模或是GHW模，或是一致有界模.然后，對(duì)L的一類一致有界模給出了完全分類，證明了它有且只有七種情況：Aα,λ,μ,A0,λ,μ,A1,λ,μ,A1,0,λ,μ,A1,0,λ,μ,A1,0,λ,μ,B1,0,λ,μ,A0,1,λ,μ,A0,1,λ,μ.最后，我們討

3、論了L的一類截?cái)嘧哟鷶?shù)W，證明了W沒有非平凡的中心擴(kuò)張. 第二部分：研究了Schrodinger-Virasoro李代數(shù)及其擴(kuò)張.M.Henkel[3]引入了Schrodinger-Virazoro李代數(shù)的概念，它在數(shù)學(xué)物理和統(tǒng)計(jì)力學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用.近些年，在具體的物理研究背景下，J.Unterberger[4]定義了一類Schrodinger-Virasoro李代數(shù)的擴(kuò)張，稱之為擴(kuò)張Schrodinger-Virasoro李

4、代數(shù).目前，關(guān)于擴(kuò)張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)的結(jié)構(gòu)的許多問題還不清楚.首先，我們證明了Schrodinger-Virasoro李代數(shù)sb的泛中心擴(kuò)張sb的不可約權(quán)?；蛘呤亲罡邫?quán)模，或者是最低權(quán)模，或者是一致有界模.其次，確定了擴(kuò)張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)sbe的導(dǎo)子代數(shù)，證明了它的導(dǎo)子均為內(nèi)導(dǎo)子，進(jìn)一步說明了sbe是一類無限維完備李代數(shù)，并確定了sbe的泛中心擴(kuò)張。最后，證明了sbe沒有非平凡

5、的不變雙線性型，從而說明了它在Leibniz代數(shù)范疇中的泛中心擴(kuò)張與它在李代數(shù)范疇中的泛中心擴(kuò)張是一致的. 第三部分：研究了一類由Witt代數(shù)和它的密度張量模構(gòu)成的半直積W(α，b)及其中心擴(kuò)張.這類李代數(shù)自然地出現(xiàn)在超弦理論中，它包含了我們所熟知的一些代數(shù)結(jié)構(gòu)，如W(0，0)的泛中心擴(kuò)張就是經(jīng)典的扭Heisenberg-Virasoro代數(shù).我們刻畫了W(α，b)的導(dǎo)子代數(shù)，分類了全部的一維中心擴(kuò)張.特別地，這一結(jié)果糾正了文[