Schrodinger-Virasoro李代數(shù)與非階化Virasoro-like李代數(shù)的結構與表示.pdf

1、無限維李代數(shù)的結構和表示一直是李理論研究的熱點問題之一.本文主要對幾類無限維李代數(shù)的表示和結構進行了研究，這幾類無限維李代數(shù)都與理論物理、量子場論及統(tǒng)計力學等學科有著深刻的內在聯(lián)系，并與Virasoro代數(shù)密切相關.本文主要分以下幾部分： 第一部分：主要研究了一類無限維非階化Virasoro-like李代數(shù)L的表示。這類李代數(shù)(無中心擴張的情況)是在上世紀八十年代作為擬多項式環(huán)的一階微分算子代數(shù)被引入的[1]，九十年代在理論物理

2、的廣義對稱性研究中產生了同樣的代數(shù)結構[2].由于菲階化李代數(shù)本身結構的復雜性，使得對它們的結構和表示的研究變得比階化的情形要困難和復雜很多.我們首先證明了在一定條件下L的不可約?；蚴荊HW模，或是一致有界模.然后，對L的一類一致有界模給出了完全分類，證明了它有且只有七種情況：Aα,λ,μ,A0,λ,μ,A1,λ,μ,A1,0,λ,μ,A1,0,λ,μ,A1,0,λ,μ,B1,0,λ,μ,A0,1,λ,μ,A0,1,λ,μ.最后，我們討

3、論了L的一類截斷子代數(shù)W，證明了W沒有非平凡的中心擴張. 第二部分：研究了Schrodinger-Virasoro李代數(shù)及其擴張.M.Henkel[3]引入了Schrodinger-Virazoro李代數(shù)的概念，它在數(shù)學物理和統(tǒng)計力學中具有廣泛的應用.近些年，在具體的物理研究背景下，J.Unterberger[4]定義了一類Schrodinger-Virasoro李代數(shù)的擴張，稱之為擴張Schrodinger-Virasoro李

4、代數(shù).目前，關于擴張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)的結構的許多問題還不清楚.首先，我們證明了Schrodinger-Virasoro李代數(shù)sb的泛中心擴張sb的不可約權?；蛘呤亲罡邫嗄?，或者是最低權模，或者是一致有界模.其次，確定了擴張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)sbe的導子代數(shù)，證明了它的導子均為內導子，進一步說明了sbe是一類無限維完備李代數(shù)，并確定了sbe的泛中心擴張。最后，證明了sbe沒有非平凡

5、的不變雙線性型，從而說明了它在Leibniz代數(shù)范疇中的泛中心擴張與它在李代數(shù)范疇中的泛中心擴張是一致的. 第三部分：研究了一類由Witt代數(shù)和它的密度張量模構成的半直積W(α，b)及其中心擴張.這類李代數(shù)自然地出現(xiàn)在超弦理論中，它包含了我們所熟知的一些代數(shù)結構，如W(0，0)的泛中心擴張就是經典的扭Heisenberg-Virasoro代數(shù).我們刻畫了W(α，b)的導子代數(shù)，分類了全部的一維中心擴張.特別地，這一結果糾正了文[