關(guān)于某些特殊的射影平坦Finsler度量.pdf

1、本文分成兩大部分。第一部分包括第一章，討論了多項式(α,β)-度量射影平坦的充分必要條件，特別是形如F=α(1+a1s+a2s2+a4s4)的Finsler度量，其中α是一個Riemann度量，s=β/α，β是一個1-形式，ai為常數(shù)，i=1，2，4且a1≠0。第二部分包括第二章和第三章，在第二章中我們討論了形如F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3的Finsler度量為射影平坦的充分必要條件，并找到了非平凡特解；而在第三章中我們

2、確定了具有常數(shù)旗曲率的形如F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3的射影平坦Finsler度量。正如陳省身先生所說，F(xiàn)insler度量是沒有二次型限制的Riemann度量[1]。早在1854年Riemann的就職演說中就已經(jīng)涉及這種情形。Finsler幾何就是研究流形上Finsler度量的幾何性質(zhì)的學(xué)科[2]。近年來，F(xiàn)insler幾何重新得到了重視和發(fā)展[3][4][5]，在生物、物理等方面都有應(yīng)用[6][7][8][9][10]

3、[11][12][13]。 Finsler幾何中的一個基本問題就是研究Finsler度量在開區(qū)域U(∪)Rn中射影平坦的的特征。Finsler度量在U上射影平坦是指其測地線為直線。這是Hilbert第四問題的一般情況[14]。已經(jīng)有許多數(shù)學(xué)家研究過射影平坦的Finsler度量[15][16][17]。1903年，G.Hamel([18])證明了度量F=F(x，y)在Rn中開子集U上射影平坦的充要條件為Fxiyiyi=Fxj.(0

4、.1)根據(jù)著名的Beltrami定理，即一個Riemann度量是局部射影平坦的當(dāng)且僅當(dāng)它具有常截面曲率。因此，這個問題在Riemann幾何中已經(jīng)解決了。Riemann幾何中的截面曲率在Finsler幾何中的一個自然推廣是旗曲率。但是，流形M上每個局部射影平坦的Finsler度量F具有數(shù)量旗曲率，即旗曲率K=K(z，y)是TM\{0}上的標(biāo)量函數(shù)。而且，有許多局部射影平坦的Finsler度量并不具有常旗曲率。因此，對于Finsler度量，

5、Beltrami定理不再成立。 著名的Funk度量Θ=Θ(z，y)在Rn中的強凸域上射影平坦且具有常旗曲率K=-1/4。當(dāng)這個域是Rn中的單位球Bn時，F(xiàn)unk度量由下式給定：Θ=√(1-|x|2)|y|2+2/1-|x|2+/1-|x|2，Bn上的Funk度量具有如下形式：Θ=-α+-β.其中，-α=√(1-|x|2)|y|2+2/1-|x|2是Rienann度量，-β=/1-|x|2是

6、1-形式。這種可以表示為F=α+β形式的Finsler度量稱為Randers度量，其中α是Riernann度量，3是1-形式。眾所周知，Randers度量F=α+β為射影平坦的，當(dāng)且僅當(dāng)α是射影平坦，β是閉的。Z.Shen[16]對所有具常旗曲率的射影平坦的Randers度量進行了分類。L.Berwald([19])在單位球Bn上構(gòu)造了有零旗曲率的射影平坦的度量，如下所示：B=(√(1-x2)|y|2+2+)2/(1

7、-|x|2)2√(1-|x|2)|y|2+2，其中y∈TxBn≡Rn。Berwald度量可以表示為：B=(λ~α+λ~β)2/λ~α，其中，λ=1/(1-|x|2)。 最近，Z.Shen和G.CivilYidirim([20])已經(jīng)研究和分類了有如下形式的局部射影平坦的度量：F=(α±√κβ)2/α.他們還確定了有常旗曲率的這種度量。這些度量除局部Minkowski外，已經(jīng)由X.Mo等([21])構(gòu)造。此外，X.Mo等

8、([22])也研究了具有F=α+∈β+κβ2/α形式的局部射影平坦度量。上述度量都是(α,β)-度量，即F=αΦ(s)，s=β/α，其中α=√aijyiyj是一Riemann度量，β=biyi是1-形式。Φ=Φ(s)是開區(qū)間(-bo，bo)上的一個C∞正函數(shù)，滿足Φ(s)-sΦ'(s)+(b2-s2)Φ"(s)＞0，(A)|s|≤b＜bo.(0.2)易知F是Finsler度量當(dāng)且僅當(dāng)對任意x∈M成立‖βx‖α＜bo([2])。不難看出，

9、這些(α,β)-度量包含了所有的Riemann度量(Φ=1)。這是Finsler幾何中一類非常重要的度量。對某些函數(shù)Φ，若由其定義的Finsler度量F=αΦ(β/α)為射影平坦的充要條件是α是射影平坦的，β關(guān)于α平行，則我們稱這樣的射影平坦的(α.β)-度量是平凡的。例如，Matsumoto度量(由Φ=1/(1-s)定義)[23]和指數(shù)度量(由Φ=εs+exp(s)定義)[24]等。而某些函數(shù)Φ定義的F為射影平坦時，1-形式β不一定是

10、關(guān)于α平行的，此時，我們稱此度量是非平凡的。例如，Randers度量[25]等。我們自然要考慮這樣的問題：Finsler(α，β)-度量何時是射影平坦的?而射影平坦的Finsler(α,β)-度量何時是平凡的?一般來說，這些問題都非常復(fù)雜。所以，我們考慮多項式(α.β)-度量，即Finsler(α,β)-度量具有如下多項式形式F：=α(1+n∑i=1aisi)=α(1+n∑i=1aiβi/αi)，其中n和ai(i=1，…，n)為常數(shù)。若

11、取n=1，a1=1，則此度量為Randers度量；若取n=2，a1=2，a2=1，則此度量已由Z.Shen和G.Civi.Yildirim([20])研究；若取n=2，a1=0，a2=1，則此度量已由P.Sennarath和G.Thornley([26])研究。由已知例子(參看[23][24])可知，含有s3項的射影平坦(α.β)-度量一般都是平凡的，所以在本文中，我們討論形如F=α(1+a1s+a2s2+a4s4)，(0.3)的一類多

12、項式(α.β)-度量，其中ai為常數(shù)，a1≠0，i=1，2，4。得到如下結(jié)果 定理1.1.1設(shè)Finsler度量F=α+a1β+a2β2/α+a4β4/α3，其中ai為常數(shù)，i=1，2，4，a1≠0。那么，F(xiàn)為射影平坦的，當(dāng)且僅當(dāng)以下情形之一發(fā)生： (1)a2=a4=0，α射影平坦且β是閉的1-形式。 (2)a2≠0，a4=0且 (i)bi|j=τ2[(a2-1+2b2)aij-3bibj]，(ii)Gα

13、i=ηyi-τ2a2bi，其中，τ2=τ2(x)，η=ηi(x)yi，b是β關(guān)于α的模長。 (3)α2=2k，α4=-1/3k2，其中k為非零常數(shù)，且 (i)bi|j=τ3[(1+4kb2)aij-5kbibj]，(ii)Gαi=ζyi-2kτ3α2bi.其中，τ3=τ3(x)，ζ=ζi(x)yi。 (4)a4＞0，α射影平坦，β關(guān)于α平行，且b=(√a22+12a4-a2/6a4)-1/2。 (5)a4

14、＜0，a2＞0，a22+12a4＞0，α射影平坦，β關(guān)于α平行，且b=(√a22+12a4-a2/6a4)-1/2。 從上述定理可以看到，情形(1)就是Randers度量，而情形(2)就是Z.Shen和G.CiviYildirim([20])的結(jié)果。而情形(3)是一種非常有意思的度量?？梢钥吹?，F(xiàn)射影平坦但α并不一定是射影平坦。因此，在第二章和第三章中詳細(xì)研究了這個度量。 首先，在第二章中我們證明了：定理2.1.1Fin

15、sler度量F=α+εβ+2kβ2/α-k2,β4/3α3是射影平坦的，當(dāng)且僅當(dāng)(i)Gαi=ηyi-2kτa2bi，(0.4)(ii)bi|j=τ[(1+4kb2)aij-5kbibj(0.5)其中τ=τ(x)，η=ηi(x)yi，∈是常數(shù)，k為非零常數(shù)。此時，Gi=(η+2ταχ)yi(0.6)其中，χ：=(1-ks2)(3ε+12ks-4k2s3)/4(3ε+3+6ks2-k2s4)-ks，s=β/α.(0.7)然后，我們給出了(

16、0.4)和(0.5)的特解：定理2.1.2設(shè)F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3是Finsler度量，其中ε是常數(shù)，k為非零常數(shù)。設(shè)ρ：=ρ(h)，h：=h(x)滿足ρ=2/kln(1/4C22k(2θh-μh2+2C3))，h=1/√1+μ|x|2{(C1++θ|x|2/1+√1+μ|x|2}，其中C1，C2≠0，C3，μ和θ是常數(shù)，a∈Rn是常向量。定義α:=ekρ-α，β:=1/2C2e3/4kρh0，其中-α：

17、=√|y|2+μ(|z|2|y|2-2)/1+μ|x|2.那么F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3是射影平坦的。 在第三章中，我們研究了具有常數(shù)旗曲率的形如F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3的射影平坦的Finsler度量。我們有命題3.1.1如果F=α+εβ+2kβ2/α-k2β4/3α3是射影平坦的，且具有常旗曲率K=λ=常數(shù)，其中ε是常數(shù)，k是非零常數(shù)，那么λ=0。 命題3.1.2設(shè)F=α