圖譜與圖的化學(xué)指標(biāo)中的極值問題.pdf

1、本文主要研究有限的無向簡單圖的指標(biāo)(譜半徑)及其他兩個(gè)化學(xué)指標(biāo)：Hosoya指標(biāo)和Merrifield-Simmons指標(biāo)。
　　 圖譜理論是圖論中的一個(gè)非常活躍的重要分支，廣泛應(yīng)用在量子化學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中。令A(yù)(G)是圖G的鄰接矩陣。圖G的譜就是A(G)的譜(A(G)的全部特征值及它們的重?cái)?shù))。A(G)的最大特征值稱為圖G的指標(biāo)(譜半徑)，它表示為ρ(G)。在1986年，Brualdi和Solheid提出了關(guān)于譜半

2、徑的下列經(jīng)典問題：
　　 給定圖類(g)，尋找(g)中所有圖的譜半徑的上界，并刻畫達(dá)到這個(gè)最大譜半徑的極圖。
　　 迄今為止不同圖類(g)中的最大譜半徑極圖可以在最后引用的文獻(xiàn)中找到。但遺憾的是，關(guān)于最小譜半徑極圖的結(jié)果要比最大譜半徑的少的多。最近的一些結(jié)果可在最后引用的文獻(xiàn)中找到。令(g)αn是獨(dú)立數(shù)為α的n點(diǎn)連通圖的集合。我們找到了(g)αn中具有最大譜半徑的極圖，并得到了對(duì)應(yīng)的譜半徑的值。還刻畫了α∈{1，「n/2

3、」,「n/2」，「n/2」+1，n-2，n-1}時(shí)具有最小譜半徑的極圖。我們用(g)n,k表示具有k個(gè)懸掛點(diǎn)的n點(diǎn)連通圖的集合。在本文中我們找到了(g)n,k中具有最大譜半徑的圖，并刻畫了k∈{1,2,,3,4，n-2，n-1｝時(shí)(g)n,k中具有最小譜半徑的極圖。
　　 根據(jù)指標(biāo)對(duì)圖進(jìn)行分類和排序是圖譜理論中的—個(gè)有趣的問題，它是Cvetkovi(c)在1981年中提出的。在1970年，Smith確定了指標(biāo)不超過2的所有圖，C

4、vetkovi(c)、Doob和Gutman在1981年列出了指標(biāo)在區(qū)間(2，√2+√5)中的所有圖，它們都是樹。特別的，在2002年，Zhang和Chen對(duì)指標(biāo)在區(qū)間(2，√2+√5)的某些樹進(jìn)行了排序，并給出了在化學(xué)中的應(yīng)用。受到Zhang和Chen的方法的啟發(fā)，我們考慮集合Un(3)，這個(gè)集合是由具有唯一最大度3的所有圖構(gòu)成。并給出了Un(3)中的圖的關(guān)于指標(biāo)的部分漸近完全排序，確定了Un(3)中的關(guān)于指標(biāo)的極圖。
　　

5、作為組合化學(xué)中的兩個(gè)著名指標(biāo)，圖G的Hosoya指標(biāo)和Merrifield-Simmons指標(biāo)分別定義為圖的包括空邊集在內(nèi)的對(duì)集(獨(dú)立邊集)總數(shù)和包括空點(diǎn)集在內(nèi)的點(diǎn)獨(dú)立集總數(shù)。這兩個(gè)指標(biāo)分別記為z(G)和i(G)。Hosoya指標(biāo)在1971年由Hosoya引入。自最先引入開始，Hosoya指標(biāo)已引起了很多學(xué)者的注意。而且Hosoya指標(biāo)在研究某些碳水化合物的分子結(jié)構(gòu)與物理、化學(xué)性質(zhì)的關(guān)系時(shí)起了重要的作用。Merrifield-Simmo

6、ns指標(biāo)在1989年由Merrifield和Simmons引入。Merrifield-Simmons指標(biāo)的很多數(shù)學(xué)性質(zhì)的細(xì)節(jié)可以在最后引用的參考文獻(xiàn)中找到。特別的，對(duì)于n個(gè)點(diǎn)的路Pn，有i(Pn)=Fn+2，其中Fn+2表示第(n+2)個(gè)Fibonacci數(shù)。這也許是很多作者把Merrifield-Simmons指標(biāo)稱為圖的Fibonacci數(shù)的原因。不過Merrifield-Simmons指標(biāo)在QSPR和QSAR上的應(yīng)用的研究卻少得多

7、。已經(jīng)證明Merrifield-Simmons指標(biāo)與沸點(diǎn)有關(guān)。
　　 組合化學(xué)中的—個(gè)重要方向是在給定圖類中找到關(guān)于Hosoya指標(biāo)或Merrifield-Simmons指標(biāo)的極(極大或極小)圖。用Fn,k和Wn,ω分別表示染色數(shù)為k的n點(diǎn)連通圖的集合和團(tuán)數(shù)為ω的n點(diǎn)連通圖的集合。本文中我們證明了Turán圖是Fn，k中具有極大Hosoya指標(biāo)和極小Merrifield-Simmons指標(biāo)的唯一圖，還確定了Wn，ω中具有極小Ho

8、soya指標(biāo)和極大Merrifield-Simmons指標(biāo)的唯一圖，提出了一個(gè)與Dn，k和Wn,ω，中的極圖相關(guān)的問題。2007年Wagner給出了具有極大Hosoya指標(biāo)和極小Merrifield-Simmons指標(biāo)的最大度確定的極樹。2008年Deng分別刻畫了具有極大Hosoya指標(biāo)和極小Merrifield-Simmons指標(biāo)的雙圈圖的極圖。令U(n，△)是最大度為△的n階連通單圈圖的集合。用U0(n，3)表示把路Pn-k+1的

9、一個(gè)懸掛點(diǎn)和圈Ck的一點(diǎn)等同為一個(gè)點(diǎn)得到的所有圖的集合。n階連通單圈圖的集合寫作U(n)。對(duì)△的所有值，我們分別刻畫了u(n，△)中具有極大Hosoya指標(biāo)和最小Merrifield-Simmons指標(biāo)的極圖，并確定了它們的Hosoya指標(biāo)和Merrifield-Simmons指標(biāo)。而且，我們分別給出了U0(n，3)中所有圖的關(guān)于Hosoya指標(biāo)和Merrifield-Simmons指標(biāo)的完全排序。本文還分別確定了U(n)中的第二到第三

10、小Merrifield-Simmons指標(biāo)和第三大Hosoya指標(biāo)。
　　 2007年Yu和Lv確定了所有具有k個(gè)懸掛點(diǎn)n點(diǎn)樹中具有極小Hosoya指標(biāo)和極大Merrifield-Simmons指標(biāo)的極樹。我們得到了(g)n,k中具有極大Hosoya指標(biāo)和極小Merrifield-Simmons指標(biāo)的極圖，并指出(g)n,k中具有極小Hosoya指標(biāo)和極大Merrifield-Simmons指標(biāo)的極圖一定不是樹。對(duì)于某些特殊的k