自守L-函數(shù)的高次積分均值估計(jì).pdf

1、設(shè)（此處公式省略）是完全模群，H為上半復(fù)平面.拉普拉斯算（此處公式省略）關(guān)于（此處公式省略）的譜分解有如下形式（此處公式省略）,其中C是常函數(shù)構(gòu)成的空間，（此處公式省略）是 M aass尖形式空間，（此處公式省略）是由不完整的艾森斯坦級(jí)數(shù)生成的空間.
　　令（此處公式省略）是在（此處公式省略）空間中具有拉普拉斯特征值（此處公式省略）的Hecke-Maass形式的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.那么％具有如下形式的傅里葉變換（此處公式省略）,（此處

2、公式省略）其中（此處公式省略）,（此處公式省略）是 Hecke算子T n的第n個(gè)特征值，（此處公式省略）,是 Whittaker函數(shù)，且（此處公式省略）是K-Bessel函數(shù)，其中（此處公式省略）.
　　為了方便，在本文中，我們令f是具有拉普拉斯特征值（此處公式省略）的Maass形式，將f正規(guī)化，使其傅里葉系數(shù)首項(xiàng)為1,則f的傅里葉展開(kāi)式為（此處公式省略）我們定義關(guān)于f的L-函數(shù)為（此處公式省略）時(shí)，級(jí)數(shù)（此處公式省略）收斂（網(wǎng))

3、（此處公式省略）滿足函數(shù)方程，并且可以解析延拓到整個(gè)復(fù)平面（[1]).應(yīng)用K. Chandrasekharan和R. Narasimhan([2])中的一個(gè)定理，我們可以得到（此處公式省略）
　　由柯西不等式，我們有（此處公式省略）這個(gè)上界是引理2.5成立的條件.定義（此處公式省略）可化為（此處公式省略）.廣義Ramanujan猜想（此處公式省略）是（此處公式省略）.關(guān)于這一猜想，目前最好的結(jié)果是由K i m和Sarnak([10

4、],[11])得到的（此處公式省略）,由此，我們可以得到（此處公式省略）,其中（此處公式省略）是除數(shù)函數(shù).
　　當(dāng)（此處公式省略）時(shí)，我們定義（此處公式省略）為滿足下面式子的所有（此處公式省略）的上確（此處公式省略）,其中（此處公式省略）（此處公式省略）常數(shù)依賴(lài)于f和e.自然地,我們要找m(a)的下界，這在 f的傅里葉系數(shù)的均值估計(jì)中有一些應(yīng)用.1989年，A. Ivic([4])對(duì)全純尖形式對(duì)應(yīng)的L-函數(shù)研究了類(lèi)似的問(wèn)題，并且得

5、到當(dāng)（此處公式省略）時(shí)，（此處公式省略）的下界為（此處公式省略）.
　　在本文中，我們?cè)傺芯慨?dāng)（此處公式省略）時(shí)，Maass尖形式對(duì)應(yīng)函數(shù)（此處公式省略）的結(jié)果，其中當(dāng)（此處公式省略）時(shí)，我們將得到和全純尖形式中一樣的結(jié)果，不同點(diǎn)是我們不知道Mass尖形式對(duì)應(yīng)的Ramanujan猜想是否成立,這就為我們?cè)诶靡?.11和引理2.12中求下界時(shí)增加了困難.（此處公式省略）時(shí)，（此處公式省略）要比在（此處公式省略）中的結(jié)果稍差一些，

6、這是因?yàn)樵冢ù颂幑绞÷裕┑那樾?，我們能夠運(yùn)用指數(shù)和（指數(shù)對(duì)）理論，而在L(s,f)中卻不可以.
　　定理1.1.m⑷如上式中所定義，當(dāng)（此處公式省略）時(shí)，我們有（此處公式省略）.應(yīng)用定理1.1,我們還給出（此處公式省略）的2階，4階以及6階的漸近公式.2
　　定理1.2.對(duì)任意的（此處公式省略）,當(dāng)（此處公式省略）時(shí)，我們有（此處公式省略）,
　　(1.3)（此處公式省略）,
　　(1.4)（此處公式省略）,<