擬周期碰撞振子的Lagrange穩(wěn)定性.pdf

1、本文討論擬周期碰撞振子的Lagrange穩(wěn)定性，碰撞振子是非線性振動(dòng)和非光滑Hamilton系統(tǒng)的重要模型之一，它的研究與Fermi-Ulam加速器問題、對(duì)偶臺(tái)球問題、金屬斷裂學(xué)、天體力學(xué)穩(wěn)定性等相關(guān)聯(lián)．?dāng)M周期碰撞振子的Lagrange穩(wěn)定性研究需要應(yīng)用KAM技巧． 本文給出了解析以及光滑條件下的擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線定理，并利用這些定理討論了擬周期彈性碰撞振子運(yùn)動(dòng)的Lagrange穩(wěn)定性．文章有三個(gè)主要部分． 一、證

2、明了三個(gè)甲面擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線定理． 先應(yīng)用Moser的經(jīng)典KAM迭代技巧證明了解析的擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線定理．然后根據(jù)擬周期頻率的不同情形，分別把上述定理推廣到平均小扭轉(zhuǎn)和頻率有理相關(guān)時(shí)的小扭轉(zhuǎn)情形． 對(duì)于平均小扭轉(zhuǎn)定理，頻率只是有理無關(guān)，并不滿足Diophantine條件，因此無法處理小分母問題，這里采用經(jīng)典KAM定理證明中的“截?cái)唷狈椒ㄇ蠼馔{(diào)方程，給出坐標(biāo)變換，并把同調(diào)方程求解帶來的誤差直接放在小擾動(dòng)中

3、，把它轉(zhuǎn)化為一般的小扭轉(zhuǎn)映射，從而得到不變曲線的存在性． 對(duì)于頻率有理相關(guān)時(shí)的小扭轉(zhuǎn)定理，先分離映射中對(duì)應(yīng)于頻率有理相關(guān)和有理無關(guān)的部分．對(duì)于有理無關(guān)的部分類似平均小扭轉(zhuǎn)定理的處理方式．有理相關(guān)的部分是對(duì)應(yīng)于變換后的映射的主要部分，通過Hamilton系統(tǒng)的作用-角變換，并把原系統(tǒng)的角變量作為新系統(tǒng)的時(shí)間變量，給出相應(yīng)的同胚變換，使得變換后的映射滿足一般的小扭轉(zhuǎn)定理的條件，從而得到不變曲線的存在性． 二、討論了解析的擬周

4、期碰撞振子的解的有界性（即Lagrange穩(wěn)定性）問題． 先考慮了漸近線性擬周期碰撞振子在非共振和共振點(diǎn)附近的解的有界性．首先把碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有中心對(duì)稱向量場的Hamilton系統(tǒng)，再通過Hamilton系統(tǒng)的一系列坐標(biāo)變換把碰撞問題轉(zhuǎn)化為一可積系統(tǒng)的小擾動(dòng)問題，變換的過程中始終保持向量場的中心對(duì)稱性，然后運(yùn)用Poincaré映射把它轉(zhuǎn)化為擬周期小扭轉(zhuǎn)映射．接下來，分別應(yīng)用第二章得到的平均小扭轉(zhuǎn)定理和頻率有理相關(guān)時(shí)的小扭轉(zhuǎn)定理

5、，得到在一定條件下，漸近線性擬周期碰撞振子在非共振和共振點(diǎn)附近的相平面上不變曲線的存在性，從而證明了碰撞解的有界性． 再考慮了一類超線性擬周期碰撞振子的解的有界性，同樣先把碰撞系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有中心對(duì)稱向量場的Hamilton系統(tǒng)，然后通過作用-角變換以及尺度變換把它轉(zhuǎn)化為-可積系統(tǒng)的小擾動(dòng)問題，接下來的證明與漸近線性擬周期碰撞振子在共振點(diǎn)附近的情形類似． 三、討論了光滑的擬周期扭轉(zhuǎn)映射的不變曲線的存在性問題． 在保