Shearlet分析與圖像處理.pdf

1、為了克服經(jīng)典小波分析的不足,人們?cè)诙喾N非經(jīng)典思想和方法的啟發(fā)下試圖去尋找經(jīng)典小波的變體。在僅僅十幾年的時(shí)間里,不少非經(jīng)典小波被相繼提出來。Shearlet分析正是一種在這個(gè)非經(jīng)典小波研究浪潮推動(dòng)下產(chǎn)生的新型小波分析理論,不僅克服了經(jīng)典小波在處理高維奇異性的不足,而且與其它非經(jīng)典小波相比具有多分辨分析的結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)在程序設(shè)計(jì)上是極為有用的,即可以用Mallat算法來快速計(jì)算多分辨分析結(jié)構(gòu)中各層系數(shù)——盡管人們已經(jīng)編制出了shearlet

2、圖像重構(gòu)程序,但目前還沒有計(jì)算shearlet系數(shù)的程序出現(xiàn)。本文還致力于將shearlet做進(jìn)一步的推廣,以構(gòu)造新的小波。
　　 本文的主要工作由三大部分組成:
　　 (1)群表示論與連續(xù)shearlet變換。無論是經(jīng)典小波還是非經(jīng)典小波的發(fā)展都離不開一些基礎(chǔ)理論的支持。本文主要以拓?fù)淙罕硎菊摵涂蚣芾碚摓楣ぞ哐芯苛藄hearlet分析及其在圖像處理中的應(yīng)用。第二章從反演公式出發(fā),總結(jié)出一套具有普遍意義的shearlet

3、分析方法,即計(jì)算shearlet群的Haar測(cè)度,模函數(shù)和Duflo-Moore算子,以便剖析shearlet變換的根本結(jié)構(gòu)。該章第一節(jié)成功構(gòu)造出兩個(gè)n維shearlet群,表明了本文的研究方法具有重要價(jià)值。第二節(jié)則將相關(guān)的概念和原理推廣到微分流形上(定理2.11),從而使shearlet變換可以處理流形上的函數(shù),大大擴(kuò)展了應(yīng)用的范圍。進(jìn)一步從Lie群的角度認(rèn)識(shí)shearlet群及其voice變換,并統(tǒng)一地給出了的各種具體的voice變

4、換。
　　 (2)Shearlet稀疏化。有了對(duì)連續(xù)shearlet變換的認(rèn)識(shí)之后,第三章開始研究稀疏化表示。所謂稀疏化就是在shearlet群中選取一個(gè)離散集作用在某個(gè)基本函數(shù)上構(gòu)造出空間的基或框架(仿射系統(tǒng))。經(jīng)典小波可以容易地構(gòu)造正交基。而shearlet變換卻不易構(gòu)造正交基，框架的引入彌補(bǔ)了shearlet的這個(gè)不足之處。因?yàn)榭蚣芫哂腥哂嘈?所以不僅放寬了對(duì)生成函數(shù)的要求,而且在稀疏表示方面也往往比正交基更具靈活性.緊框

5、架是所有框架當(dāng)中最接近正交基的。定理3.1為緊框架的構(gòu)造奠定了基礎(chǔ),而隨后的定理3.2與定理3.3分別是shearlet緊框架與其“多小波”形式,其中定理3.3適用于一切形如F-1L2(D)的子空間,并為后來的多分辨分析結(jié)構(gòu)做好了理論鋪墊。定理3.4則是其拓?fù)淙喊姹?概括了迄今為止所有同類型的定理。也為后繼的研究提供了有力工具。接著,緊框架生成函數(shù)的構(gòu)造引出了頻域劃分的討論。盡管一些論文已經(jīng)提到了這種方法,但本文更為細(xì)致地研究了shea

6、rlet變換的頻域結(jié)構(gòu)并提出了劃分技術(shù).這個(gè)技術(shù)和偽極坐標(biāo)變換聯(lián)系在一起。為了推廣這個(gè)技術(shù),我們也給出了一般形式的偽極坐標(biāo)變換,而該變換主要依據(jù)剪切矩陣的形式。
　　 (3)系數(shù)計(jì)算算法.第四章數(shù)值計(jì)算的主要任務(wù)是計(jì)算shearlet系數(shù)，與理論分析不同,其面臨的問題是設(shè)計(jì)快速高精度的計(jì)算程序。理論上,shearlet系數(shù)就是函數(shù)與shearlet函數(shù)的內(nèi)積。然而,單純做內(nèi)積不僅造成不小的累積誤差。而且沒有考慮各系數(shù)序列之間的聯(lián)